Um desafio do papiro Ahmes

Um pouquinho da história....

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no

Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45

Agora o desafio retirado do antigo papiro de Ahmes (ou Rhind), cerca de 1650 a.C.

"Linda donzela, de olhos brilhantes, diz-me qual o número que, multiplicado por 3, somado a três quartos do produto, dividido por 7, subtraindo de um terço do quociente, multiplicado por si mesmo, subtraindo de 52, tendo sua raiz quadrada extraída, somado a 8 e depois dividido por 10, dá o número 2?"

Solução:

Resolvendo do fim para o começo, temos que, se dividindo o penúltimo resultado por 10, dá 2, aquele será 20; se o anterior, somado a 8 dá 20, aquele será 12; se o anterior, tendo sua raiz quadrada extraída dá 12, aquele será 144; se o anterior subtraindo 52 dá 144, aquele será 196; se o anterior multiplicado por si mesmo dá 196, aquele será 14; se subtraindo um terço do anterior dá 14, aquele será 21; se o anterior dividido por 7 dá 21, aquele será 147; se ao anterior for somado três quartos dá 147, será 84; finalmente, se o número multiplicado por 3 dá 84, ele será, 28.

Lei do Resfriamento de Newton

Além das grande contribuições para a Física, Newton também deixou algumas contribuições para a Matemática. Uma delas refere-se às trocas de calor entre corpos. O mais interessante disto, para nós, é a modelagem do problema, que recairá em uma equação diferencial.

Vamos ao problema...

Sobre a condução do calor, um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo está colocado, aceita três hipóteses básicas:

1. A temperatura T = T (t) depende do tempo t e é a mesma em todos os pontos do corpo.
2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante ao longo da experiência.
3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo t é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

A montagem e resolução da equação diferencial, assume verdadeiras as hipóteses e dessa forma

onde T = T (t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construido, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do
tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Esta equação diferencial é separável, que pode ser transformada em:

Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:

Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, obteremos:


e a solução da equação diferencial será

Se sabemos que a temperatura inicial do corpo é T (0) = T0 , então substituindo t = 0 na solução da equação, podemos obter a constante C que aparece na solução, pois

A solução do PVI (Problema de Valor Inicial)

será então dada por



Pronto. Chegamos ao queríamos: um modelo matemático para o problema do resfriamento de um corpo.

Sendo assim, até a próxima!

Os Sólidos Platônicos

Os sólidos platônicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.. A existência destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitetura e noutros objetos que construíram.

Existem apenas cinco sólidos platônicos, que são os seguintes:

Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos diversos significados místicos. Por exemplo, Kepler sentia uma grande admiração e reverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou mesmo a tentar explicar os movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma:

Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidos platónicos pode ser obtida através do processo da sua construção, como Platão fez num seu texto incluído no diálogo Timeu.

Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenas podemos utilizar polígonos regulares congruentes. Comecemos por considerar o triângulo equilátero, que é o polígono regular com menos lados. Quantos poliedros, cujas faces são apenas este polígono, conseguimos construir? Para responder a esta pergunta, centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros (basta considerar apenas um, pois os restantes são idênticos).

Com dois triângulos equiláteros, não se consegue constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo sólido tem que ser constituído pelo menos por três planos. Com três triângulos equiláteros é possível constituir um vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro. Esta possibilidade prende-se com facto de a soma das amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos adjantes, no vértice, ser inferior a 360º, exactamente 180º.

Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja soma das amplitudes dos ângulos internos adjantes no vértice é de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cinco desses triângulos num vértice, essa soma é de 300º, ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro. Passando para seis triângulos equiláteros, chegamos a uma impossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulos internos adjantes no vértice é, neste caso, 360º, o que não permite "fechar" o vértice, isto é, formar um ângulo sólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmo plano (formando uma pavimentação do plano em torno do suposto vértice). A consideração de um número maior de triângulos equiláteros em torno de um vértice, obviamente já não possibilita a construção de um poliedro.

O pressuposto de construção que tem estado a ser utilizado é o de que a formação de um ângulo sólido no vértice de um poliedro só é possível se a soma das amplitudes dos ângulos internos dos polígonos adjacentes no vértce for inferior a 360º.

Considerando o quadrado, e o pressuposto atrás enunciado, chegamos à conclusão de que apenas conseguimos construir o cubo. Com pentágonos, apenas conseguimos construir o dodecaedro.


Enumeremos então os sólidos que acabámos de construir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo e dodecaedro. São precisamente cinco, como se queria demonstrar.

Outra forma demonstrar a existência de apenas cinco sólidos platónicos é através da fórmula de Euler, considerando as restrições relativas aos vértices, arestas e faces inerentes aos sólidos platónicos.

Os 35 camelos

Vamos postar agora uma das maravilhosas histórias do livro "O homem que calculava"(Malba Tahan) onde é narrada a aventura dos 35 camelos que deviam ser repartidos por 3 arábes.
(...) Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista.
Encontramos, perto de um antigo caravançará meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos.
por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:
_ Não pode ser!
_ Isto é um roubo!
_ Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
_ Somos irmãos _ esclareceu o mais velho _ e redebemos, como herança, esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?
_ É muito simples _ atalhou o Homem que Calculava. _ Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este meu belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe!
Não preocupes com o resultado, ó Bagdali! _ replicou-me em voz baixa Beremiz. _ Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.
Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar-lhe o meu belo jamal, que, imediatamente, foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos para os três herdeiros.
_ Vou, meus amigos _ disse ele, dirigindo-se aos três irmãos _, vamos fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora, como vêem, em número de 36.
E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
_ Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. receberás a metade de 36 e, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão!
E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
_ E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36 isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.
E disse, por fim, ao mais moço:
_ E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber a nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona parte de 36, isto é, 4. o teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer pelo resultado!
E concluiu com a maior segunrança e serenidade:
_ Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir - partilha em que todos três saíram lucrando - couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34 camelos.Dos 36 camelos, sobraram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao bagdali, meu amigo e companheiro, outro toca por direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!
_ Sois inteligenet, ó Estrangeiro! _ exclamou o mais velho dos três irmãos _ Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade!
E o astucioso Beremiz - o Homem que Calculava - tomou logo posse de um dos mais belos "jamales" do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:
_Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro! Tenho outro, especialmente para mim!
E continuamos nossa jornada para Bagdá. (...)
Se ainda não leu essa maravilhosa obra, espero que leia pois garanto que o tempo dispençado a leitura será ao mesmo tempo o mais aproveitado pela sua sabedoria.
Aproveitem!

A Equação do Amor

Bom... Como hoje é dia dos namorados, não poderíamos deixar de passar esta data sem postar algo interessante. Observe a beleza e elegância da solução desta equação:


Primeiro multiplica-se a incógnita X pelos termos de dentro do parênteses:

Agora, vamos tirar o Mínimo Múltiplo Comum dos denominadores, mas neste caso X+ BCO é igual a BCO+X, então o MMC é o próprio X + BCO. Depois é só igualar os denominadores:

Como os denominadores são iguais podemos eliminá-lo e aproveitamos e resolvemos a multiplicação:

Passamos todos os termos que possuem X (a incógnita) para a primeira parte da equação (trocando os sinais):

Os termos AMX se anulam, e podemos por em evidência BC na segunda parte da equação:

Passando BC dividindo temos o resultado, o valor da incógnita que procurávamos:

X=AMO-TE.

E aí?!?! Viu que beleza essa equação! Melhor ainda é o resultado. Então a todos os apaixonados e apaixondas, feliz dia dos namorados! E aos solteiros... bom... só resta esperar o ano que vem!!!! Se não deu agora, quem sabe na próxima! Hehe

Até mais...

Multiplicando com dedos

Durante a Idade Média e o Renascimento, poucas foram as pessoas que chegaram a conhecer a tabela de multiplicar para além de 5x5. Assim, usava-se um método muito popular que se baseava no uso dos complementos dos números dados relativamente a 10. Como tal, o complemento de n relativamente a 10 será 10-n. Neste método era frequente usar os dedos das mãos como instrumento de cálculo . Associa-se aos dedos de cada mão os números de 6 a 10, começando pelo dedo mindinho.

Para multiplicar 7 por 8 tocam-se os dedos associados ao 7 e ao 8, como se observa na figura seguinte .

Note-se que o complemento de 7 está representado pelos três dedos superiores (situados acima dos dedos em contacto) de uma mão e o complemento de 8 pelos dedos superiores na outra mão. Os cinco dedos inferiores representam o 5, ou seja, 5 dezenas. A 50 adiciona-se o produto dos dedos superiores, 3x2, ou seja 6, dando no total 56.

Como é isto possível?
Ao calcular pxq (p,q=6,7,8,9) , juntam-se p-5 dedos na mão esquerda e ficam 10-p dedos. Na mão direita juntam-se q-5 dedos e sobram 10-q dedos. A soma dos dedos da mão esquerda com os dedos da mão direita representa as dezenas, ou seja, 10(p-5+q-5). A este resultado adiciona-se o produto dos dedos que sobram de ambas as mãos, ou seja, (10-p)(10-q)Assim, o resultado é,
10(p-5+q-5)+(10-p)(10-q)
ou seja,
10p-50+10q-50+100-10q-10p+pq=pxq
Este método simples de usar os dedos para calcular o produto de qualquer par de números compreendidos entre 6 e 10 foi extensivamente usado durante o Renascimento, ainda hoje é utilizado em certas zonas rurais da Europa e da Rússia.

Este método deve ser dado a conhecer aos alunos, em qualquer nível de escolaridade, visto ser um método de multiplicar interessante, curioso e motivante.

Shannon e a matemática dos computadores eletrônicos

Motivado por necessidades de cálculos militares em balística, o Prof. Bush do MIT construiu em 1930 um potentíssimo computador analógico eletro-mecânico: o analisador diferencial de Bush. Na época era o computador mais potente em existência no mundo. Contudo, como todo computador analóogico, era uma máquina capaz de resolver um único tipo de problema, no caso: equações diferenciais.

Apesar disso, tinha duas inovações que mais tarde foram decisivas para a invenção dos computadores eletrônicos digitais : usava componentes eletrônicos e tinha certa capacidade de programação ( era capaz de resolver qualquer equação diferencial dada desde que suas componentes fossem reconfiguradas em função dessa ).

Nessa época, Shannon trabalhava como assistente de Bush e esse sugeriu-lhe que tentasse fazer um estudo matemático procurando descobrir o princípio que possibilitava o funcionamento da máquina construída um tanto quanto empiricamente.

Shannon dedicando-se ao problema, descobriu que os circuítos baseados em relays tinham seus estados de ON ou OFF ( ie, de ligado e desligado ) regidos pelas leis da Algebra de Boole . Mais do que isso, fazendo as associações:

ON - verdadeiro - 1
OFF - falso - 0

foi capaz de mostrar como construir circuítos baseados em relays e capazes de realizar cada uma das quatro operações aritméticas

Hoje, em plena Era da Informática, poucas pessoas são capazes de se dar conta de quanto enraizado estava o sistema de numeração decimal na mente dos engenheiros da época. Shannon, além de provar a possibilidade de se construir um computador totalmente eletrônico, foi o primeiro a atinar que os respectivos circuítos ficavam muito mais simples ( e mais baratos ) com o abandono do sistema decimal em favor do sistema binário.

Após a Segunda Guerra começaram a se multiplicar as tecnologias de transferência de informação. Contudo, não havia uma teoria que fosse capaz de quantificar a quantidade de informação que precisava ser transportada. Por exemplo, os engenheiros de então achavam que seria apenas uma questão de progresso tecnológico se conseguir transmitir mensagens telegráficas com maior velocidade do que se podia fazer na época. Shannon ( em 1948 ) criou uma teoria, hoje fundamental no trabalho cotidiano em Engenharia de Comunicações e chamada Teoria da Informação, que mostrou que cada canal de comunicações ( seja ele um fio telegráfico, fio telefônico, cabo axial ou etc ) tem uma velocidade limite característica.
Por exemplo, cada linha telefônica permite transmitir dados até uma certa velocidade de transmissão. Se precisarmos usar uma velocidade maior teremos de usar um canal de maior velocidade limite, por exemplo um cabo de fibras ópticas. Se insistirmos usar a linha telefônica em velocidades maiores do que seu limite teremos uma transmissão cada vez mais poluída por erros. Hoje, esse fenômeno é até facilmente constatável por qualquer um que use seu microcomputador e modem para fins de comunicação.

A Teoria de Informação que Shannon construiu, contudo, transcende em muito as aplicações em comunicações. Shannon mostrou que aos elementos básicos do trabalho científico, massa e energia, precisamos acrescentar um terceiro: a informação.
Mais do que isso, usando a Teoria das Probabilidades, Shannon mostrou como medir a quantidade de informação. Sempre dando preferência ao sistema de numeração binário, introduziu a unidade de medida de informação: o bit : binary digit.



Dizemos que recebemos um bit de informação quando ficamos sabendo qual, dentre duas alternativas equiprováveis, a que efetivamente ocorreu.

Por exemplo: recebemos um bit de informação quando soubermos qual o resultado do lance de uma moeda, não viciada.

No instante que os cientistas passaram a ter condições de medir não apenas massa e energia mas também a informação passaram a investigar uma gama enorme de novos fenômenos nas ciências biológicas, sociais, etc. Os engenheiros puderam desenvolver uma grande quantidade de novas tecnologias de comunicações.

Embora sua teoria seja bastante técnica, vejamos um exemplo da utilidade que tem tal unidade de informação. Voltemos ao problema que motivou os estudos de Shannon: o problema da capacidade de comunicação de um canal transmissor.

A solução do problema é resumida numa fórmula, hoje básica da Teoria da Informação, a chamada fórmula de Shannon:

C = B *log [(S+N)/N]

ela dá a velocidade máxima Cmax ( em bits por segundo ) com que sinais de potência S watts podem passar por um canal de comunicação, o qual deixa passar sem distorção apenas os sinais de frequência até B hertz, e o qual produz ruídos de potência no máximo N watts ( e esses ruídos são do tipo usual, chamado ruído branco ).

Vejamos um exemplo numérico importante: o caso das linhas telefônicas analógicas, essas que comumente encontramos aqui no Brasil. Elas são construídas para passar voz humana, frequência de até 3 400 hertz. Consequentemente:

para uma relação S/N = 100 temos:
Cmax = 3400 log2 ( 101 ) = 22 600 bits/seg

para uma relação S/N = 1 000 temos:
Cmax = 3400 log2 ( 1001 ) = 33 900 bits/seg

Sobre Shannon...

Claude Elwood Shannon nasceu nos USA em 1916. Formou-se em Matemática e Engenharia Elétrica na Universidade de Michigan, e fez seu mestrado e doutorado no MIT. Trabalhou a maior parte de sua vida nos Laboratórios Bell e, após uma rapidíssima vida de professor, aposentou-se com cerca de 50 anos. Ainda é vivo e ativo intelectualmente ( poderíamos dizer que, principalmente, financeiramente uma vez que tem dedicado-se a desenvolver programas de análise do sistema financeiro de Wall Street e com os quais acabou formando um imenso capital ). Apesar de sua vida extremamente reclusa e estar afastado dos meios académicos é um dos mais famosos matemáticos vivos.

A Matemática dos Maias

Por volta do ano 500 antes de cristo, foi desenvolvido um sistema de numeração numa cidade ao sul da região habitada pelos Maias, onde hoje é o sul do México. Esse sistema e considerado um dois mais refinados do mundo para época. Por ele, qualquer numero pode ser representado usando apenas combinações de três símbolos: um ponto equivalia ao numero 1; uma barra horizontal, ao numero 5; uma concha marinha representando o zero.

A invenção do zero foi um grande avanço da civilização maia, pois o algarismo facilita bastante as operações matemáticas. Outras civilizações também inventaram, sistemas de numeração, mas a maioria desses sistemas não utilizava o zero.

Veja como eram representados os números maias de zero a dezenove:



A partir do algarismo 20, os números eram representados em um sistema que considerava o valor da posição do número, de maneira parecida com o sistema de numeração que nós utilizamos, que foi desenvolvido na Ásia e é chamado, de indo – arábico.

Pensemos em um número qualquer,representado no nosso sistema de numeração; por exemplo, quando escrevemos o numero 365 (trezentos e cinqüenta e cinco), usamos uma maneira compacta de representa o número, que, na verdade, esta nos dizendo o seguinte.



Observe que o numero 5, que esta na casa direita, vale 5 mesmo; já o número 6, que esta na casa do meio, vale 60;por fim temos o número 3, na casa da esquerda valendo 300, assim 300 + 60 + 5 = 365.

Vamos agora observar o numero 111(cento e onze)



Nós usamos um sistema decimal ou um sistema posicional de base 10, porque nossos antepassados cantavam os objetos com os dedos de ambas as mãos. Já os maias, escolheram usar um sistema posicional de base 20, que, provavelmente, teve origem em um costume primitivo dos comerciantes maias de contar com as duas mãos e os dois pés. Outro detalhe importante é que, em vez de escreverem os números na horizontal, como nós, os números maias eram escritos na verticalmente, com um valor de posição que diminuía de cima para baixo.

Deste modo o numero 20 era escrito deste modo:



Na primeira casa, a de baixo, a concha, que representa o zero, tem o valor de zero, na segunda casa, a de cima, que representa o 1 vale 20, pois o numero que esta na segunda casa e multiplicado por 20. Se houvesse uma terceira casa, o numero que estivesse nela seria multiplicado por 20 x 20, ou seja, 400, e assim por diante. Vejamos outros exemplos:

Vamos ver um exemplo com três casas posicionais:



Apesar do sistema vegesimal (de base 20) nos parecer estranho, as operações matemáticas são tão fáceis quanto no sistema decimal. Pelo que se sabe sobre os maias, é provável que eles só usassem números inteiros e que a soma e a subtração fossem as únicas operações por eles realizadas. O sistema que acabamos de ver era usado no comercio e outras situações do dia – a – dia. Mas sabe que os maias tinham vasto conhecimento em astronomia e, para facilitar cálculos nessa área, fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seu sistema numérico, e do numero 360 em diante os agrupamentos deixam de ser de vinte em vinte. A terceira casa passa a ser multiplicado de 18 x 20 (que é igual a 360), invés de 20 x 20. Essa mudança provavelmente surgiu porque os sacerdotes – astrônomos, quiseram que a terceira casa tive – se um número próximo ao número de dias do ano maia.

Um dos calendários que os maias utilizavam tinha 18 meses de 20 dias, o que dá um total de 360 dias, mais cinco dias ao final do ano, que eram considerados dias de mau agouro.vejamos então como era escrito o numero 360 com essa mudança.



O uso da potência de base 20 corresponde ao fator multiplicativo de cada casa. Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, o número 482 corresponde à expressão: 4 x 10² + 8 x 10¹ + 2 x 10^0 = 482. Para os maias porém a base era 20 e daí multiplica-se por uma potência de 20.



Observe que a partir da terceira casa o múltiplo passa a ser 360 conforme mencionado acima.
Fragmentos de tecidos, folhas secas e pedras encontrados em escavações na península de Yucatán indicam que os maias registravam testos voltados, basicamente, para datas.

Até a Próxima!!!!

Torre de Hanoi

Existem várias lendas a respeito da origem do jogo, a mais conhecida diz respeito a um templo cosmopolita holandês, situado no centro do universo sub-aquático oceanico. Diz-se que Brahma supostamente havia criado uma torre com 64 discos de ouro e mais duas estacas equilibradas sobre uma plataforma. Brahma ordenara-lhes que movessem todos os discos de uma estaca para outra segundo as suas instruções. As regras eram simples: apenas um disco poderia ser movido por vez e nunca um disco maior deveria ficar por cima de um disco menor. Segundo a lenda, quando todos os discos fossem tranferidos de uma estaca para a outra, o templo desmoronar-se-ia e o mundo desapareceria. Hans supostamente inspirou-se na lenda para construir o jogo, o qual tornou-se muito popular na China Oriental.

É interessante observar que o número mínimo de "movimentos" para conseguir transferir todos os discos da primeira estaca à terceira é 2ⁿ-1, sendo n o número de discos. logo:

Para solucionar um hanoi de 3 discos, são necessários 2³ -1 movimentos = 7 movimentos

Para solucionar um hanoi de 7 discos, são necessários 127 movimentos

Para solucionar um hanoi de 15 discos, são necessários 32.767 movimentos

Para solucionar um hanoi de 64 discos, como diz a lenda, são necessários 18.446.744.073.709.551.615 movimentos.