Fractais: O Triângulo de Sierpiński

O Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um processo recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades, tais como: ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais; ter área igual a zero; ser auto-semelhante (uma sua parte é idêntica ao todo); não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.

Construção

Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é através do seguinte algoritmo:

1. Começe com qualquer triângulo em um plano.
   
2. Trace os pontos médios de cada lado e em seguida trace segmentos de reta a fim de formar um triângulo central, dividindo assim, o triângulo maior em 4 triângulos.
3. Retira-se o triângulo central.
4. Repita os passos anteriores.
   

Propriedades

O triângulo de Sierpinski possui uma dimensão de Hausdorff de aproximadamente 1,585 (log(3)/log(2)). Isso acontece porque essa é uma figura formada por três cópias de sí mesma, cada uma reduzida por um fator de 1/2.

Também existe uma relação com o triângulo de Pascal . Montando o triângulo de Pascal com 2ⁿ linhas, e pintando os números pares de branco e os ímpares de preto, a figura obtida será uma aproximação do triângulo de Sierpinski.

A área de um triângulo de Sierpinski é zero. Isso pode ser percebido quando observamos que, a cada iteração, a área da figura obtida foi reduzida em 25% em relação a área da figura original.

Números Complexos

O AUTOR

Jean Robert Argand nasceu em Genebra (Suiça), a 18 de Julho de 1768. Apesar de ser apenas um matemático amador, Argand ficou famoso pela sua interpretação geométrica dos números complexos, onde i é interpretado como uma rotação de 90º.

O primeiro a publicar a interpretação geométrica de Argand foi Caspar Wessel, no entanto, o nome de Argand nunca apareceu no livro, e por isso era impossível identificar o seu autor. Foi necessário muito tempo para que o trabalho de Argand fosse conhecido como seu.

Em Setembro de 1813, Jacques Français publicou um trabalho no qual aparecia uma representação geométrica dos números complexos, com aplicações interessantes, baseadas nas ideias de Argand. Nesta publicação, Jacques Français dizia que as ideias eram baseadas no trabalho de um matemático desconhecido, e pedia que este se desse a conhecer, para receber o devido crédito pelas suas ideias. O artigo apareceu no jornal GergonneŽs, e Argand respondeu a Jacques Français dizendo que era ele o autor dessas ideias. A partir daqui o trabalho de Argand começou a ser conhecido.

Argand apresentou ainda uma prova para o "Teorema Fundamental da Álgebra", sendo, possivelmente, o primeiro a trabalhar com o teorema no caso em que os coeficientes são números complexos.

Jean Robert Argand faleceu a 13 de Agosto de 1822, em Paris.

O PLANO COMPLEXO

O plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand, é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa. Desta forma um número complexo como 3 - 5i pode ser representado através do ponto (3, -5) no plano de Argand-Gauss.

Temos na figura ao lado um exemplo do plano. Nele, pode-se observar representados os principais elementos de um número complexo:

* A parte real, representada pela abcissa do ponto;
* a parte imaginária, representada pela ordenada do ponto;
* o módulo, representado pelo raio da circunferência de centro no ponto (0; 0);
* o argumento, representado pelo ângulo direcionado em sentido anti-horário entre o ponto z = x + yi, o ponto (0; 0) e o eixo das abcissas.

PERGUNTAS FREQÜÊNTES

*O conjunto dos números complexos só serve para resolver equações algébricas?

A álgebra dos números complexos permite representar e operar vetores no plano. Possibilita que grandezas que variam senoidalmente (ou cossenoidalmente) em função do tempo, ou seja, do tipo A sen( wt + f) , sejam representados por vetores bidimensionais (fasores) A(cos f+ isen f) , que sofre rotação em sentido anti-horário com velocidade angular w. É mais fácil operar (somar, multiplicar, etc.) com números complexos de diferentes módulos e argumentos do que operar com funções trigonométricas (senos e cossenos) de diferentes amplitudes e fases.

*O conjunto dos complexos é uma extensão dos reais?

Existe nos complexos um subconjunto (eixo x) que "é uma cópia perfeita dos reais", isto é, os reais e os complexos da forma (a,0) são identificados por meio de uma função injetora (injetiva) e sobrejetora (sobrejetiva), que preserva as operações de adição e multiplicação de complexos (isomorfismo). Então, colocando "a cópia no lugar do original", podemos dizer, "por abuso de linguagem", que os complexos contém os reais.

* O plano complexo e o plano cartesiano da Geometria Analítica são iguais?

Sob ponto de vista da Álgebra existem algumas diferenças . Quando trabalhamos com a Geometria Analítica fazemos uso da soma de vetores e da multiplicação destes por um número real. Quando trabalhamos com os complexos fazemos uso da (mesma) soma de complexos (vetores) e da multiplicação de complexos (vetores), que é essencialmente uma rotação seguida de homotetia, portanto, não é o produto interno (escalar) e muito menos o produto vetorial do Cálculo Vetorial.

A UTILIDADE

O plano de Argand-Gauss é um acessório útil pois através dele podemos algebrizar vetores bidimensionais. Devido à semelhança entre as operações com ambos elementos, esta algebrização é de grande utilidade em diversos campos da Matemática, Engenharia e Física.

ALGUMAS APLICAÇÕES

Os números complexos são muito úteis na Aerodinâmica. Joukowski (1906), utilizando transformações geométricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avião (aerofólio de Joukowski) e, usando o princípio de Bernoulli (1738) e a teoria das funções complexas, deduziu a fórmula

F = x + yi = -ie^(ia)*(VkLr) ,

que permite calcular a força de levantamento responsável pela sustentação do vôo de um avião. Os números complexos permitiram uma explicação matemática para o vôo. Daí em diante o progresso aeronáutico foi rápido.

Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampère) são exemplo de quantidades complexas. A impedância é o número complexo Z = R + jX, ou na forma polar Z = |Z|(cosf +jsenf), onde j^2 = -1 , f é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito, |Z| é o módulo, R é a resistência elétrica (em ohm) e X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Na Física e na Engenharia é usado, como número imaginário, o j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente elétrica.


Mandelbrot (1975) estudou a equação X_(n+1) = (Xn)^2 + Z , onde Z=a+bi, i^2 = -1 e n = 1 , 2 , 3 , ... . Através de um programa recursivo de computador (um programa em loop), variou Z e o computador imprimiu na tela os pontos X_(n+1). Constatou que, para cada valor de Z uma figura era imprimida na tela. Ampliando as figuras descobriu que continham cópias aproximadas de si mesmas (auto-semelhança).

Para ter uma melhor visualização assista:
http://www.youtube.com/watch?v=ZipJNVpVYaE&eurl=http://www.profezequias.net/complexo.html

Frações e Divisões

Há 3000 antes de Cristo, os geometras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.



Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

Você concorda com esta divisão? Por quê?

Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?

Afinal: "Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte."

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:

D =1/2:2/3

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

D =1/2:2/3=3/6:4/6

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.


Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

D =1/2:2/3=3/6 x 6/4=18/24=3/4

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

a/b:c/d=a/b x d/c=a.d/b.c

A Curvatura e a Torção

Qualquer objeto em movimento descreve uma curva no espaço (pensemos, por exemplo, nas curvas que os pássaros ou as borboletas "traçam" durante os seus voos).

Existe uma "linguagem" matemática para descrever a forma das curvas no espaço?

Sim, é a "linguagem" da curvatura e, no caso tridimensional, da torção. Estas duas noções são bastante intuitivas e é possível recorrer a diversas situações do nosso quotidiano para as introduzir.

No caso das curvas planas podemos considerar a trajetória de um automóvel e observar a relação entre a sua curvatura e o comportamento do volante deste mesmo automóvel.
Imaginemo-nos a conduzir um automóvel.Se não virarmos o volante para a esquerda nem para a direita, qual será a sua trajetória?Obviamente que este segue sempre em linha reta.

Dizemos então que uma reta (ou um segmento de reta) não tem curvatura ou que tem curvatura zero (pois para mantermos essa trajetória não curvamos o volante para nenhum dos lados).Suponhamos agora que viramos o volante para a esquerda e que o mantemos sempre nessa posição. Qual será a trajetória do nosso automóvel?Ao fim de algum tempo estaremos de

novo na posição inicial, depois de percorrermos uma trajetória circular.

Dizemos então que a circunferência tem curvatura constante (mantemos essa trajetória se "curvarmos" sempre o mesmo).E se tivessemos inicialmente rodado o volante ainda mais para a esquerda do que na situação anterior? Tal como no caso anterior, teríamos novamente percorrido uma trajetória circular.Mas esta nova circunferência teria raio menor. Como é necessário "curvar" mais para percorrer esta nova trajetória circular, dizemos que a segunda circunferência tem curvatura maior que a primeira.

Se o nosso automóvel tivesse virado à direita, teríamos uma situação perfeitamente análoga e as circunferências seriam iguais às anteriores.Uma vez que as circunferências percorridas são iguais (quer se "curve" para a esquerda, quer se "curve" para a direita), não há razão para considerar que a intensidade da curvatura é diferente nas duas situações.

Mas então como é que podemos distinguir estas duas situações?

A solução é dar o mesmo valor, em módulo, para a curvatura nos dois casos, mas definir que virar para um dos lados é positivo e para o outro é negativo.

Em Matemática, convenciona-se que as curvas que "curvam" para a esquerda têm curvatura positiva enquanto que as que "curvam" para a direita têm curvatura negativa.

Resumindo, o sinal da curvatura representa o lado para onde "se curva" enquanto que o seu módulo representa a intensidade com que "se curva".Verificam-se ainda as seguintes propriedades:

1. As retas têm curvatura zero.
2. As circunferências têm curvatura constante.
3. As circunferências percorridas no sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) têm curvatura positiva.
4. As circunferências percorridas no sentido horário têm curvatura negativa.
5. Quanto menor for o raio da circunferência, maior será o valor da sua curvatura (em módulo).

No caso das curvas tridimensionais, um exemplo natural é o avião e as suas possíveis trajetórias. O avião efetua os mesmos movimentos que um automóvel - por exemplo, quando está na pista de aterragem, o avião pode movimentar-se em linha reta ou em círculos como se fosse um carro normal - aos quais são acrescentados, grosso modo, os movimentos de subida e descida para que este consiga efetivamente voar.

Analisemos em primeiro lugar a situação em que o avião se mantém sempre no mesmo plano como, por exemplo, na pista de aterragem. Nesta situação, todas as propriedades estudadas anteriormente continuam válidas como, por exemplo:

• as retas têm curvatura zero;
• as circunferências têm curvatura constante.

Uma reta e uma circunferência são ambas curvas planas, mas existe uma grande diferença entre estes dois tipos de curvas: uma circunferência apenas está contida num plano (e em mais nenhum) enquanto que uma reta está contida numa infinidade deles.

Uma vez que a circunferência está contida num único plano (nunca se "torcendo" para tentar fugir a esse plano), diz-se, em Matemática, que não tem torção ou que tem torção nula. Apesar de a reta também ser uma curva plana, esta curva não tem torção definida - devido à sua propriedade de estar contida numa infinidade de planos.

Imaginemos um avião num movimento ascendente constante e suponhamos ainda que viramos o seu "manche" para a esquerda e que o mantemos sempre fixo. Qual será a trajecória deste avião?

O avião vai percorrer uma trajetória helicoidal.
Como o "manche" está sempre fixo para a esquerda, dizemos que esta curva tem curvatura constante não nula. Como o movimento ascendente é constante, diz-se também que esta curva tem torção constante não nula (note-se que a hélice não é uma curva plana).

A curvatura mede, em cada ponto, o quão rapidamente a curva se afasta da reta tangente à curva nesse mesmo ponto.

A torção mede, em cada ponto, o quão rapidamente a curva se afasta do plano osculador à curva nesse mesmo ponto.Mas será que a curvatura e a torção são medidas suficientes para definir a forma de uma curva? De fato, existe um resultado similar ao Teorema Fundamental das Curvas Planas no caso tridimensional, mas é necessário considerar um pressuposto adicional em relação à função curvatura, que é o fato de esta ter que ser sempre maior que zero. Esta propriedade da função curvatura é essencial para se obter a unicidade da curva.

Tem-se então o Teorema Fundamental das Curvas, que garante que se duas curvas tiverem a mesma função curvatura (com k>0) e a mesma função torção, existe um movimento rígido de 3 que transforma uma curva na outra.

Isto significa que é possível transformar qualquer uma das curvas na outra sem recorrer a deformações, ou seja, utilizando apenas translações e rotações.

Em futuros post's veremos um pouco mais sobre essa e outras magníficas propriedades que as curvas possuem... =]