Curiosidades sobre o Número de Ouro

Existem muitos livros e artigos que se referem ao retângulo de ouro como a forma mais harmoniosa, sendo usado em estruturas de música, arquitetónicas e em obras de arte.

Temos por exemplo em Atenas, uma construção bastante conhecida do tempo dos Gregos, que se chama Partenon. Foi construído por volta de 430 a. c. e, como se pode analisar pela figura abaixo, a sua estrutura baseia-se possivelmente num retângulo de ouro .

Apesar da "forma mais harmoniosa" ter origem apenas no fim de 1800, não quer dizer que esta forma não tenha sido já usada, quer pelos Gregos, quer pelos Egipcios ou pelos Babilónios, visto que, tanto as pirâmides como o próprio Partenon, ruíram ou deterioraram-se através dos tempos, não sendo possível saber ao certo as exactas medidas utilizadas.

Na arte, um dos quadros que ficou bastante conhecido e onde se encontra o retângulo de ouro, é na Gioconda (em 1505) de Leonardo Da Vinci. Se reparar, no seu rosto está inscrito um retângulo de ouro. Na altura, este quadro foi uma inovação, que se desenvolveu também com a ajuda de Luca Pacioli, autor da Divina Proporção.

Em relação há música, Stradivari usou-o nos seus famosos violinos. Também se pode encontrar nas obras de Mozart (sonatas). O número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia nº 5 e a Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach é que em seus solos curtos aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.

Já na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos último dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro.

Para outras curiosidades obre o número de ouro acesse: http://goldennumber.net/

Até a próxima!

Entre a Mística dos Números e o Rigor do Cálculo: Os Números Figurados

Pitágoras concebeu os números triangulares constituídos pelos números naturais (inteiros positivos) dispostos em triângulo:

Cada número triangular corresponde à soma dos primeiros números naturais:

*1=1;

*3=1+2;

*6=1+2+3;

*10=1+2+3+4;

*15=1+2+3+4+5;

* etc.

É fácil verificar que 1=1x2/2 (primeiro número triangular); 3=2x3/2 (segundo número triangular); 6=3x4/2 (terceiro nº. triangular).

Para encontrar o 7º número triangular basta calcular 7x8/2=28, e o n ésimo número triangular é calculado pela fórmula n(n+1)/2.

Os outros membros da Escola Pitagórica construíram os números poligonais (números quadrados e números pentagonais) e usaram essas representações para deduzir propriedades dos números inteiros. Por exemplo, a seguinte propriedade dos números ímpares: a soma dos primeiros n ímpares é um quadrado perfeito pode ser deduzida a partir da representação geométrica em números quadrados. A dedução desta e doutras propriedades pode ser vista em diversos livros de história da matemática.

Os números à nossa volta - A natureza de Fibonacci

Primeiramente, vamos conhecer um pouco mais sobre a Seqüência de Fibonacci.

Na matemática, os Números de Fibonacci são uma seqüência (sucessão, em Portugal) definida como recursiva pela fórmula abaixo:

Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci são:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Agora, observe que a natureza é uma fonte inesgotável de números de Fibonacci. É possível encontrar estes números nas folhas dos ramos de uma planta. Se escolhermos uma determinada folha como ponto de partida e contarmos as folhas para cima ou para baixo, o número de folhas contadas será quase sempre um número de Fibonacci. Além disso, o número de voltas a dar em torno do ramo, apesar de variar de planta para planta, é também um número de Fibonacci.Estas voltas são contadas no sentido dos ponteiros do relógio. Mas, apesar do número de voltas ser diferente no sentido inverso, é também um número de Fibonacci.

* A faia, a aveleira e a amora silvestre têm ciclos de 3 folhas descrevendo 1 volta.
* O salgueiro e a amendoeira têm ciclos 13 folhas descrevendo 5 voltas.
* O olmo, a tília e a limeira têm ciclos 2 folhas descrevendo 1 volta.
* O carvalho, a cerejeira, a macieira, o azevinho e a ameixieira têm ciclos 5 folhas descrevendo 2 voltas.
* O choupo, o álamo, a roseira e a pereira têm ciclos 8 folhas descrevendo 3 voltas.

A botânica é, de fato, um filão de números de Fibonacci. As flores têm, geralmente, um número de Fibonacci de pétalas. Vejamos:


* Jarros: 1
* Lírios, íris, açucenas: 3
* Columbinas, ranúnculos amarelos, rosas silvestres: 5
* Malmequeres: 13
* Olhado preto, chicória: 21
* Dálias: 34
* Margaridas: 21, 34, 55 e até 89


Estes números também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. Na cabeça do girassol (usado muitas vezes como exemplo, porque, devido ao seu tamanho, é fácil de analisar), as sementes formam espirais quer para a direita, quer para a esquerda. Se contarmos ambas as espirais, teremos dois números consecutivos da série de Fibonacci.A maioria dos girassóis tem 34 e 55 espirais, mas já foram encontrados alguns de 13 e 21, 55 e 89, e de 89 e 144 espirais.Estes números de espirais podem ser encontrados frequentemente em muitas outras formas vegetais. Nas folhas das cabeças das alfaces, no alho-francês, na couve-flor, nas camadas das cebolas ou nos padrões de saliências dos ananases e das pinhas. Como se vê, a matemática é uma das linguagens das flores, e das plantas em geral. Mas no reino animal, também há números de Fibonacci. O nautilus, por exemplo, um molusco considerado um fóssil vivo, tem um concha em forma de espiral com compartimentos que utiliza para flutuar. O número de compartimentos pertence também à série de Fibonaci. Reparem que o nautilus tem uma concha em forma de espiral e que também as sementes formam padrões em espiral. Esta espiral não é inocente. Também ela está relacionada com a sucessão de Fibonacci e com a razão de ouro.

Fractais: O Triângulo de Sierpiński

O Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um processo recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades, tais como: ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais; ter área igual a zero; ser auto-semelhante (uma sua parte é idêntica ao todo); não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.

Construção

Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é através do seguinte algoritmo:

1. Começe com qualquer triângulo em um plano.
   
2. Trace os pontos médios de cada lado e em seguida trace segmentos de reta a fim de formar um triângulo central, dividindo assim, o triângulo maior em 4 triângulos.
3. Retira-se o triângulo central.
4. Repita os passos anteriores.
   

Propriedades

O triângulo de Sierpinski possui uma dimensão de Hausdorff de aproximadamente 1,585 (log(3)/log(2)). Isso acontece porque essa é uma figura formada por três cópias de sí mesma, cada uma reduzida por um fator de 1/2.

Também existe uma relação com o triângulo de Pascal . Montando o triângulo de Pascal com 2ⁿ linhas, e pintando os números pares de branco e os ímpares de preto, a figura obtida será uma aproximação do triângulo de Sierpinski.

A área de um triângulo de Sierpinski é zero. Isso pode ser percebido quando observamos que, a cada iteração, a área da figura obtida foi reduzida em 25% em relação a área da figura original.

Números Complexos

O AUTOR

Jean Robert Argand nasceu em Genebra (Suiça), a 18 de Julho de 1768. Apesar de ser apenas um matemático amador, Argand ficou famoso pela sua interpretação geométrica dos números complexos, onde i é interpretado como uma rotação de 90º.

O primeiro a publicar a interpretação geométrica de Argand foi Caspar Wessel, no entanto, o nome de Argand nunca apareceu no livro, e por isso era impossível identificar o seu autor. Foi necessário muito tempo para que o trabalho de Argand fosse conhecido como seu.

Em Setembro de 1813, Jacques Français publicou um trabalho no qual aparecia uma representação geométrica dos números complexos, com aplicações interessantes, baseadas nas ideias de Argand. Nesta publicação, Jacques Français dizia que as ideias eram baseadas no trabalho de um matemático desconhecido, e pedia que este se desse a conhecer, para receber o devido crédito pelas suas ideias. O artigo apareceu no jornal GergonneŽs, e Argand respondeu a Jacques Français dizendo que era ele o autor dessas ideias. A partir daqui o trabalho de Argand começou a ser conhecido.

Argand apresentou ainda uma prova para o "Teorema Fundamental da Álgebra", sendo, possivelmente, o primeiro a trabalhar com o teorema no caso em que os coeficientes são números complexos.

Jean Robert Argand faleceu a 13 de Agosto de 1822, em Paris.

O PLANO COMPLEXO

O plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand, é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa. Desta forma um número complexo como 3 - 5i pode ser representado através do ponto (3, -5) no plano de Argand-Gauss.

Temos na figura ao lado um exemplo do plano. Nele, pode-se observar representados os principais elementos de um número complexo:

* A parte real, representada pela abcissa do ponto;
* a parte imaginária, representada pela ordenada do ponto;
* o módulo, representado pelo raio da circunferência de centro no ponto (0; 0);
* o argumento, representado pelo ângulo direcionado em sentido anti-horário entre o ponto z = x + yi, o ponto (0; 0) e o eixo das abcissas.

PERGUNTAS FREQÜÊNTES

*O conjunto dos números complexos só serve para resolver equações algébricas?

A álgebra dos números complexos permite representar e operar vetores no plano. Possibilita que grandezas que variam senoidalmente (ou cossenoidalmente) em função do tempo, ou seja, do tipo A sen( wt + f) , sejam representados por vetores bidimensionais (fasores) A(cos f+ isen f) , que sofre rotação em sentido anti-horário com velocidade angular w. É mais fácil operar (somar, multiplicar, etc.) com números complexos de diferentes módulos e argumentos do que operar com funções trigonométricas (senos e cossenos) de diferentes amplitudes e fases.

*O conjunto dos complexos é uma extensão dos reais?

Existe nos complexos um subconjunto (eixo x) que "é uma cópia perfeita dos reais", isto é, os reais e os complexos da forma (a,0) são identificados por meio de uma função injetora (injetiva) e sobrejetora (sobrejetiva), que preserva as operações de adição e multiplicação de complexos (isomorfismo). Então, colocando "a cópia no lugar do original", podemos dizer, "por abuso de linguagem", que os complexos contém os reais.

* O plano complexo e o plano cartesiano da Geometria Analítica são iguais?

Sob ponto de vista da Álgebra existem algumas diferenças . Quando trabalhamos com a Geometria Analítica fazemos uso da soma de vetores e da multiplicação destes por um número real. Quando trabalhamos com os complexos fazemos uso da (mesma) soma de complexos (vetores) e da multiplicação de complexos (vetores), que é essencialmente uma rotação seguida de homotetia, portanto, não é o produto interno (escalar) e muito menos o produto vetorial do Cálculo Vetorial.

A UTILIDADE

O plano de Argand-Gauss é um acessório útil pois através dele podemos algebrizar vetores bidimensionais. Devido à semelhança entre as operações com ambos elementos, esta algebrização é de grande utilidade em diversos campos da Matemática, Engenharia e Física.

ALGUMAS APLICAÇÕES

Os números complexos são muito úteis na Aerodinâmica. Joukowski (1906), utilizando transformações geométricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avião (aerofólio de Joukowski) e, usando o princípio de Bernoulli (1738) e a teoria das funções complexas, deduziu a fórmula

F = x + yi = -ie^(ia)*(VkLr) ,

que permite calcular a força de levantamento responsável pela sustentação do vôo de um avião. Os números complexos permitiram uma explicação matemática para o vôo. Daí em diante o progresso aeronáutico foi rápido.

Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampère) são exemplo de quantidades complexas. A impedância é o número complexo Z = R + jX, ou na forma polar Z = |Z|(cosf +jsenf), onde j^2 = -1 , f é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito, |Z| é o módulo, R é a resistência elétrica (em ohm) e X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Na Física e na Engenharia é usado, como número imaginário, o j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente elétrica.


Mandelbrot (1975) estudou a equação X_(n+1) = (Xn)^2 + Z , onde Z=a+bi, i^2 = -1 e n = 1 , 2 , 3 , ... . Através de um programa recursivo de computador (um programa em loop), variou Z e o computador imprimiu na tela os pontos X_(n+1). Constatou que, para cada valor de Z uma figura era imprimida na tela. Ampliando as figuras descobriu que continham cópias aproximadas de si mesmas (auto-semelhança).

Para ter uma melhor visualização assista:
http://www.youtube.com/watch?v=ZipJNVpVYaE&eurl=http://www.profezequias.net/complexo.html

Frações e Divisões

Há 3000 antes de Cristo, os geometras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.



Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

Você concorda com esta divisão? Por quê?

Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?

Afinal: "Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte."

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:

D =1/2:2/3

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

D =1/2:2/3=3/6:4/6

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.


Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

D =1/2:2/3=3/6 x 6/4=18/24=3/4

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

a/b:c/d=a/b x d/c=a.d/b.c

A Curvatura e a Torção

Qualquer objeto em movimento descreve uma curva no espaço (pensemos, por exemplo, nas curvas que os pássaros ou as borboletas "traçam" durante os seus voos).

Existe uma "linguagem" matemática para descrever a forma das curvas no espaço?

Sim, é a "linguagem" da curvatura e, no caso tridimensional, da torção. Estas duas noções são bastante intuitivas e é possível recorrer a diversas situações do nosso quotidiano para as introduzir.

No caso das curvas planas podemos considerar a trajetória de um automóvel e observar a relação entre a sua curvatura e o comportamento do volante deste mesmo automóvel.
Imaginemo-nos a conduzir um automóvel.Se não virarmos o volante para a esquerda nem para a direita, qual será a sua trajetória?Obviamente que este segue sempre em linha reta.

Dizemos então que uma reta (ou um segmento de reta) não tem curvatura ou que tem curvatura zero (pois para mantermos essa trajetória não curvamos o volante para nenhum dos lados).Suponhamos agora que viramos o volante para a esquerda e que o mantemos sempre nessa posição. Qual será a trajetória do nosso automóvel?Ao fim de algum tempo estaremos de

novo na posição inicial, depois de percorrermos uma trajetória circular.

Dizemos então que a circunferência tem curvatura constante (mantemos essa trajetória se "curvarmos" sempre o mesmo).E se tivessemos inicialmente rodado o volante ainda mais para a esquerda do que na situação anterior? Tal como no caso anterior, teríamos novamente percorrido uma trajetória circular.Mas esta nova circunferência teria raio menor. Como é necessário "curvar" mais para percorrer esta nova trajetória circular, dizemos que a segunda circunferência tem curvatura maior que a primeira.

Se o nosso automóvel tivesse virado à direita, teríamos uma situação perfeitamente análoga e as circunferências seriam iguais às anteriores.Uma vez que as circunferências percorridas são iguais (quer se "curve" para a esquerda, quer se "curve" para a direita), não há razão para considerar que a intensidade da curvatura é diferente nas duas situações.

Mas então como é que podemos distinguir estas duas situações?

A solução é dar o mesmo valor, em módulo, para a curvatura nos dois casos, mas definir que virar para um dos lados é positivo e para o outro é negativo.

Em Matemática, convenciona-se que as curvas que "curvam" para a esquerda têm curvatura positiva enquanto que as que "curvam" para a direita têm curvatura negativa.

Resumindo, o sinal da curvatura representa o lado para onde "se curva" enquanto que o seu módulo representa a intensidade com que "se curva".Verificam-se ainda as seguintes propriedades:

1. As retas têm curvatura zero.
2. As circunferências têm curvatura constante.
3. As circunferências percorridas no sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) têm curvatura positiva.
4. As circunferências percorridas no sentido horário têm curvatura negativa.
5. Quanto menor for o raio da circunferência, maior será o valor da sua curvatura (em módulo).

No caso das curvas tridimensionais, um exemplo natural é o avião e as suas possíveis trajetórias. O avião efetua os mesmos movimentos que um automóvel - por exemplo, quando está na pista de aterragem, o avião pode movimentar-se em linha reta ou em círculos como se fosse um carro normal - aos quais são acrescentados, grosso modo, os movimentos de subida e descida para que este consiga efetivamente voar.

Analisemos em primeiro lugar a situação em que o avião se mantém sempre no mesmo plano como, por exemplo, na pista de aterragem. Nesta situação, todas as propriedades estudadas anteriormente continuam válidas como, por exemplo:

• as retas têm curvatura zero;
• as circunferências têm curvatura constante.

Uma reta e uma circunferência são ambas curvas planas, mas existe uma grande diferença entre estes dois tipos de curvas: uma circunferência apenas está contida num plano (e em mais nenhum) enquanto que uma reta está contida numa infinidade deles.

Uma vez que a circunferência está contida num único plano (nunca se "torcendo" para tentar fugir a esse plano), diz-se, em Matemática, que não tem torção ou que tem torção nula. Apesar de a reta também ser uma curva plana, esta curva não tem torção definida - devido à sua propriedade de estar contida numa infinidade de planos.

Imaginemos um avião num movimento ascendente constante e suponhamos ainda que viramos o seu "manche" para a esquerda e que o mantemos sempre fixo. Qual será a trajecória deste avião?

O avião vai percorrer uma trajetória helicoidal.
Como o "manche" está sempre fixo para a esquerda, dizemos que esta curva tem curvatura constante não nula. Como o movimento ascendente é constante, diz-se também que esta curva tem torção constante não nula (note-se que a hélice não é uma curva plana).

A curvatura mede, em cada ponto, o quão rapidamente a curva se afasta da reta tangente à curva nesse mesmo ponto.

A torção mede, em cada ponto, o quão rapidamente a curva se afasta do plano osculador à curva nesse mesmo ponto.Mas será que a curvatura e a torção são medidas suficientes para definir a forma de uma curva? De fato, existe um resultado similar ao Teorema Fundamental das Curvas Planas no caso tridimensional, mas é necessário considerar um pressuposto adicional em relação à função curvatura, que é o fato de esta ter que ser sempre maior que zero. Esta propriedade da função curvatura é essencial para se obter a unicidade da curva.

Tem-se então o Teorema Fundamental das Curvas, que garante que se duas curvas tiverem a mesma função curvatura (com k>0) e a mesma função torção, existe um movimento rígido de 3 que transforma uma curva na outra.

Isto significa que é possível transformar qualquer uma das curvas na outra sem recorrer a deformações, ou seja, utilizando apenas translações e rotações.

Em futuros post's veremos um pouco mais sobre essa e outras magníficas propriedades que as curvas possuem... =]

Um desafio do papiro Ahmes

Um pouquinho da história....

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no

Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45

Agora o desafio retirado do antigo papiro de Ahmes (ou Rhind), cerca de 1650 a.C.

"Linda donzela, de olhos brilhantes, diz-me qual o número que, multiplicado por 3, somado a três quartos do produto, dividido por 7, subtraindo de um terço do quociente, multiplicado por si mesmo, subtraindo de 52, tendo sua raiz quadrada extraída, somado a 8 e depois dividido por 10, dá o número 2?"

Solução:

Resolvendo do fim para o começo, temos que, se dividindo o penúltimo resultado por 10, dá 2, aquele será 20; se o anterior, somado a 8 dá 20, aquele será 12; se o anterior, tendo sua raiz quadrada extraída dá 12, aquele será 144; se o anterior subtraindo 52 dá 144, aquele será 196; se o anterior multiplicado por si mesmo dá 196, aquele será 14; se subtraindo um terço do anterior dá 14, aquele será 21; se o anterior dividido por 7 dá 21, aquele será 147; se ao anterior for somado três quartos dá 147, será 84; finalmente, se o número multiplicado por 3 dá 84, ele será, 28.

Lei do Resfriamento de Newton

Além das grande contribuições para a Física, Newton também deixou algumas contribuições para a Matemática. Uma delas refere-se às trocas de calor entre corpos. O mais interessante disto, para nós, é a modelagem do problema, que recairá em uma equação diferencial.

Vamos ao problema...

Sobre a condução do calor, um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo está colocado, aceita três hipóteses básicas:

1. A temperatura T = T (t) depende do tempo t e é a mesma em todos os pontos do corpo.
2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante ao longo da experiência.
3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo t é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

A montagem e resolução da equação diferencial, assume verdadeiras as hipóteses e dessa forma

onde T = T (t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construido, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do
tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Esta equação diferencial é separável, que pode ser transformada em:

Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:

Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, obteremos:


e a solução da equação diferencial será

Se sabemos que a temperatura inicial do corpo é T (0) = T0 , então substituindo t = 0 na solução da equação, podemos obter a constante C que aparece na solução, pois

A solução do PVI (Problema de Valor Inicial)

será então dada por



Pronto. Chegamos ao queríamos: um modelo matemático para o problema do resfriamento de um corpo.

Sendo assim, até a próxima!

Os Sólidos Platônicos

Os sólidos platônicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.. A existência destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitetura e noutros objetos que construíram.

Existem apenas cinco sólidos platônicos, que são os seguintes:

Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos diversos significados místicos. Por exemplo, Kepler sentia uma grande admiração e reverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou mesmo a tentar explicar os movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma:

Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidos platónicos pode ser obtida através do processo da sua construção, como Platão fez num seu texto incluído no diálogo Timeu.

Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenas podemos utilizar polígonos regulares congruentes. Comecemos por considerar o triângulo equilátero, que é o polígono regular com menos lados. Quantos poliedros, cujas faces são apenas este polígono, conseguimos construir? Para responder a esta pergunta, centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros (basta considerar apenas um, pois os restantes são idênticos).

Com dois triângulos equiláteros, não se consegue constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo sólido tem que ser constituído pelo menos por três planos. Com três triângulos equiláteros é possível constituir um vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro. Esta possibilidade prende-se com facto de a soma das amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos adjantes, no vértice, ser inferior a 360º, exactamente 180º.

Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja soma das amplitudes dos ângulos internos adjantes no vértice é de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cinco desses triângulos num vértice, essa soma é de 300º, ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro. Passando para seis triângulos equiláteros, chegamos a uma impossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulos internos adjantes no vértice é, neste caso, 360º, o que não permite "fechar" o vértice, isto é, formar um ângulo sólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmo plano (formando uma pavimentação do plano em torno do suposto vértice). A consideração de um número maior de triângulos equiláteros em torno de um vértice, obviamente já não possibilita a construção de um poliedro.

O pressuposto de construção que tem estado a ser utilizado é o de que a formação de um ângulo sólido no vértice de um poliedro só é possível se a soma das amplitudes dos ângulos internos dos polígonos adjacentes no vértce for inferior a 360º.

Considerando o quadrado, e o pressuposto atrás enunciado, chegamos à conclusão de que apenas conseguimos construir o cubo. Com pentágonos, apenas conseguimos construir o dodecaedro.


Enumeremos então os sólidos que acabámos de construir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo e dodecaedro. São precisamente cinco, como se queria demonstrar.

Outra forma demonstrar a existência de apenas cinco sólidos platónicos é através da fórmula de Euler, considerando as restrições relativas aos vértices, arestas e faces inerentes aos sólidos platónicos.