Aula de Matemática (Por Tom Jobim)

Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você

Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal

Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão

Prá finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você.

Composição: Antonio Carlos Jobim / Marino Pinto

Dilema do Prisioneiro

O dilema do prisioneiro é um problema da teoria dos jogos e um exemplo claro, mas atípico, de um problema de soma não nula. Neste problema, como em outros muitos, supõe-se que cada jogador, de modo independente, quer aumentar ao máximo a sua própria vantagem sem lhe importar o resultado do outro jogador.


Em jogo de soma-zero o beneficio total para todos os jogadores, para cada combinação de estratégias, sempre somam zero (ou falando mais informalmente, um jogador só lucra com base no prejuízo de outro). O Poker exemplifica um jogo de soma zero (ignorando possíveis vantagens da mesa), porque o vencedor recebe exatamente a soma das perdas de seus oponentes. A maioria dos jogos clássicos de tabuleiro é de soma zero, incluindo o Xadrez. Muitos dos jogos estudados pelos pesquisadores da teoria dos jogos são jogos de soma não nula, porque algumas saídas têm resultados combinados maior ou menor que zero. Informalmente, em jogos de soma diferente de zero, o ganho de um dos jogadores não necessariamente corresponde à perda dos outros.É possível transformar qualquer jogo em um jogo de soma zero pela adição de jogadores espúrios (freqüentemente chamados de o tabuleiro), para o qual as perdas compensam o total alcançado pelos vencedores.

As técnicas de análise da teoria de jogos padrão - por exemplo determinar o equilíbrio de Nash - podem levar cada jogador a escolher trair o outro, mas curiosamente ambos os jogadores obteriam um resultado melhor se colaborassem. Infelizmente (para os prisioneiros), cada jogador é incentivado individualmente para defraudar o outro, mesmo após lhe ter prometido colaborar. Este é o ponto-chave do dilema.


O Equilíbrio de Nash representa uma situação em que, em um jogo envolvendo dois ou mais jogadores, nenhum jogador tem a ganhar mudando sua estratégia unilateralmente. Se cada jogador escolheu sua estratégia, e nenhum deles pode se beneficiar apenas pela alteração de sua estratégia enquanto os demais jogadores conservam as deles, então as escolhas estratégicas e as penalizações do jogo configuram um "equilíbrio de Nash". (à esquerda o matemático John Nash)

No dilema do prisioneiro iterado, a cooperação pode obter-se como um resultado de equilíbrio. Aqui joga-se repetidamente, pelo que, quando se repete o jogo, oferece-se a cada jogador a oportunidade de castigar ao outro jogador pela não cooperação em jogos anteriores. Assim, o incentivo para defraudar pode ser superado pela ameaça do castigo, o que conduz a um resultado melhor, cooperativo.

O dilema do prisioneiro foi originalmente formulado por Merrill Flood e Melvin Dresher enquanto trabalhavam na RAND em 1950. Mais tarde, Albert W. Tucker fez a sua formalização com o tema da pena de prisão e deu ao problema geral esse nome específico. O dilema do prisioneiro (DP) dito clássico funciona da seguinte forma:
"Dois suspeitos, A e B, são presos pela polícia. A polícia tem provas insuficientes para os condenar, mas, separando os prisioneiros, oferece a ambos o mesmo acordo: se um dos prisioneiros, confessando, testemunhar contra o outro e esse outro permanecer em silêncio, o que confessou sai livre enquanto o cúmplice silencioso cumpre 10 anos de sentença. Se ambos ficarem em silêncio, a polícia só pode condená-los a 6 meses de cadeia cada um. Se ambos traírem o comparsa, cada um leva 5 anos de cadeia. Cada prisioneiro faz a sua decisão sem saber que decisão o outro vai tomar, e nenhum tem certeza da decisão do outro. A questão que o dilema propõe é: o que vai acontecer? Como o prisioneiro vai reagir?"

O fato é que pode haver dois vencedores no jogo, sendo esta última solução a melhor para ambos, quando analisada em conjunto. Entretanto, os jogadores confrontam-se com alguns problemas:

Confiam no cúmplice e permanecem negando o crime, mesmo correndo o risco de serem colocados numa situação ainda pior, ou confessam e esperam ser libertados, apesar de que, se ele fizer o mesmo, ambos ficarão numa situação pior do que se permanecessem calados?
Um experimento baseado no simples dilema encontrou que cerca de 40% de participantes cooperaram (i.e., ficaram em silêncio).
Em abstrato, não importa os valores das penas, mas o cálculo das vantagens de uma decisão cujas conseqüências estão atreladas às decisões de outros agentes, onde a confiança e traição fazem parte da estratégia em jogo.
Casos como este são recorrentes na economia, na biologia e na estratégia. O estudo das táticas mais vantajosas num cenário onde esse dilema se repita é um dos temas da teoria dos jogos.

CUBO

A matemática tem sido apresentada de diversas maneiras em muitos filmes que mostram o quão ela é importante para desvendar mistérios e solucionar problemas. Uma dessas produções que fez seu devido sucesso chama-se CUBO (em inglês - Cube) e mostra a história de um policial (Maurice Dean Wint), um ladrão (Wayne Robson), uma matemática (Nicole de Boer), uma psicóloga (Nicky Guadagni), um arquitecto (David Hewlett) e um jovem autista (Andrew Miller) que são misteriosamente presos em um labirinto de alta tecnologia. Sem comida nem água, eles precisam encontrar um meio de sair do local. Mas precisam também tomar cuidado para não acionar armadilhas letais, que surgem em estranhos cubos.



Sobre os personagens

Leaven (Nicole de Boer)- Joan Leaven começa o filme gritando como uma impotente dama em apuros. Ao invés de explorar seus arredores,ela começa a gritar por ajuda, atraindo Quentin, Holloway e Worth. Ela é o único membro do grupo que tem qualquer pertence (seus óculos) e a transforma em um meio capaz de escapar e o único que força Worth a ajudá-los. Sua habilidade como matemática se torna inestimáveis para o grupo durante a maior parte do filme, mas Quentin ainda a mantém ao seu redor por outras razões.

Helen Holloway (Nicky Guadagni)- A Dra. Helen Holloway é a mulher mais velha do grupo, e é uma médica de uma clínica gratuita. Ela mostra no início ser amarga, paranóica e melodramática. Ela é a principal fonte das teorias de conspiração e, muitas vezes, afirma que ela acha que o Governo dos Estados Unidos é responsável pelo Cubo. Conforme o filme avança, ela se torna mais humana: ela cuida das feridas de Quentin após o encontro com a Sushi Trap e sendo responsável por cuidar de Kazan quando o encontram. Também se mostra ser calma quando necessário e explica a Quentin em um quarto vermelho por que eles precisam de Worth.

David Worth (David Hewlett)- David Worth começa deitado pálido no chão, ferido e olhando de um modo sinistro. Ele mantém suas perspectivas sombrias em toda a primeira parte do filme, impedindo as chances de Quentin tentar sair. Ele frequentemente se pergunta por que razão ainda preocupa em seguir os outros e parece ter nenhuma razão para viver; "Eu sou apenas um rapaz. Eu trabalho num escritório de construções de edifícios, fazendo coisas, ok?” Ele funciona como peso morto, não faz nada para o grupo, a não ser levar Kazan e "testar" quartos (arremessando botas para testar o atiçamento de minúsculas armadilhas). No entanto, quando chegam a um quarto vermelho (logo após o encontro com a armadilha sushi), Quentin briga com Worth e o desafia.

Kazan (Andrew Miller)- Kazan é mostrado como um homem autista e está ali apenas para atrasá-los. Imediatamente provoca a desconfiança de Quentin e é quase descartado por Leaven antes da “armadilha silenciosa", presumindo que ele está ali para prejudicar a sua velocidade ou para matá-los. No entanto, ele é uma parte crucial para a fuga já que é o único que pode completar os cálculos necessários para alcançar a segurança, fazendo fatorações muito difíceis para Leaven.

Alderson (Julian Richings)- Alderson é personagem que aparece na abertura do filme, não se encontra com o resto do grupo e é morto nos segundos iniciais do filme. No entanto, é mostrado, para que ele se apresente como um personagem principal, no início, antes de morrer e para mostrar um pouco do sabor da carnificina que o filme vai mostrar.

Rennes (Wayne Robson)- Rennes, também conhecido como "a carriça”, o começa o sendo exibido como o líder do grupo. Ele se auto descreveu ser um artista em fugas que, fugiu das melhores prisões de sete países. É quem desenvolve o método de usar uma bota para detectar armadilhas. Ele tem bons sentidos e é atlético para um homem velho, apesar de um ter um espasmo facial que nunca é explicado.

Quentin (Maurice Dean Wint)- Quentin é o personagem principal do filme. Ele diz ser um policial. É forte e se diz ser o chefe do grupo, colocando-se na maior parte das tarefas perigosas e alegando que ele está à procura de "soluções práticas". No entanto, o filme revela rapidamente (principalmente através na briga entre Quentin e Worth em um quarto vermelho), que ele não é tudo o que aparenta.

A MATEMÁTICA do filme:

Leaven, que é uma perita em matemática, lembra que cada sala tinha um conjunto de números (gravado no espaço entre as salas), que estão associados e quando um desses números foi primo, sempre haverá uma armadilha nessa sala.
A finalidade de Leaven torna-se "quebrar o código do cubo", e eles fazem bons progressos através do Cubo. Quando eles acabem em uma sala com armadilhas em todos os quartos que os cercam a não ser o de cima, Quentin e verifica a porta no teto, através da qual cai uma sétima pessoa: Kazan. Ele parece ser um deficiente mental, e consequentemente comprometerá o grupo. Leaven então percebe que os números no espaço entre os cubos representam coordenadas cartesianas codificadas, mostrando onde cada sala é do Cubo. Com a informação de Worth, ela já pode adivinhar a dimensão do labirinto.Depois de descobrirem que um dos personagens foi o criador da armadilha Leaven pode descobrir o amanho do Cubo. Ela mede 4,27 m, e deduz que o labirinto poderá ser no máximo, 26 cubos por 26 cubos por 26 cubos, ou 17576 quartos. Usando as coordenadas codificadas, ela também é capaz de determinar se são apenas sete salas de uma face do cubo. Leaven também vê que os cubos mortais são aqueles cujos números incluem uma potência de um primo (incluindo, naturalmente, a primeira potência). Após esta descoberta, os presos são desafiados com a tarefa de realizar fatorações de números com três dígitos (uma tarefa difícil, em alguns casos, mas não tão difícil como Leaven o apresenta ser). Felizmente eles descobrem que Kazan, o antigo autista inútil, pode executar tais fatorações com facilidade; Ele anuncia o número de fatores primos quase tão rapidamente quanto Leaven pode ler para ele.




É importante ressaltar para os quem não sabe que o Número primo é um número inteiro com apenas quatro divisores inteiros: 1, -1, seu oposto e ele mesmo. Por exemplo, o número 7 é um número primo pois seus dois únicos divisores inteiros são 1 e 7, -1 e -7. Se um número inteiro tem módulo maior que 1 e não é primo, diz-se que é composto. Os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.

O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração). Que foi usado por Leaven para desvendar as propriedades do CUBO.

Definição: matemática

Agora definiremos um termo muito importante e utilizado no dia-a-dia.

Matemática - do grego máthēma (μάθημα): ciência, conhecimento, aprendizagem; mathēmatikós (μαθηματικός): apreciador do conhecimento. É a ciência do raciocínio lógico. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa. Embora muitas teorias descobertas há longos anos ainda hoje se mantenham válidas e úteis, a Matemática continua permanentemente a modificar-se e a desenvolver-se.

Há muito tempo busca-se um consenso quanto à definição do que é a Matemática. No entanto, nas últimas décadas do século XX tomou forma uma definição que tem ampla aceitação entre os matemáticos:

Matemática é a ciência das regularidades (padrões).

Segundo esta definição, o trabalho do matemático consiste em examinar padrões abstratos, tanto reais como imaginários, visuais ou mentais. Ou seja, os matemáticos procuram regularidades nos números, no espaço, na ciência e na imaginação e as teorias matemáticas tentam explicar as relações entre elas.
Uma outra definição seria que é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. As estruturas específicas geralmente têm sua origem nas ciências naturais, mais comumente na Física, mas os matemáticos também definem e investigam estruturas por razões puramente internas à matemática (matemática pura), por exemplo, ao perceberem que as estruturas fornecem uma generalização unificante de vários subcampos ou uma ferramenta útil em cálculos comuns.
Historicamente as disciplinas básicas dentro da matemática estão associadas à necessidade de se efetuarem cálculos no comércio, medir terras e predizer eventos astronômicos. Essas três necessidades podem ser relacionadas às grandes subdivisões da matemática: o cálculo básico (somas, subtracções, multiplicações e divisões), o estudo das estruturas, o estudo dos espaços (cálculos de áreas e volumes através do cálculo básico) e o estudo das alterações.

Entre as primeiras definições, encontra-se a de Aristóteles (384-322 a.C.): “Matemática é a ciência das grandezas”. Essa visão de Matemática perdurou por muitos séculos, e no renascimento começaram a surgir versões modificadas daquela de Aristóteles: “Matemática é a ciência da medida das grandezas”. Com o decorrer dos séculos, a Matemática começou a ser entendida como aquele corpo de conhecimento que lida com números, grandezas, figuras, com medições, quantidade, ordem e inferências.

Descartes (1596-1650) parece ter se defrontado com o problema de classificar a Matemática em sua árvore dos conhecimentos. Em sua filosofia ele esboça a árvore das ciências; nela as raízes são a Metafísica, o tronco a Física, e os ramos as demais ciências que dela derivam, principalmente a Medicina, a Mecânica e a Moral. E a Matemática? Nesta famosa árvore, estranhamente, não aparece a Matemática. Surge então a hipótese de que a dificuldade de incluí-la, como um dos ramos das ciências, derive, justamente, da falta de clareza quanto ao seu objeto. Segundo Granger, o status da Matemática é singular, “ela não se acha nem ao nível da Metafísica, que funda a ciência e lhe fornece os seus princípios, nem ao nível das outras ciências, que reconstroem as coisas pelo pensamento, dando a razão dos efeitos. Como ciência da extensão, ela condiciona diretamente o conhecimento das coisas sensíveis e perde, portanto, o direito de fazer parte da Física; mas, de fato, como toma para objeto o que há de mais simples nas coisas, de mais imediatamente acessível nelas às idéias claras e distintas, ela intervém no sistema essencialmente como paradigma da dedução rigorosa, é exercício imediato do método” (Granger, in Descartes, p. 10). Granger percebe na Matemática um caráter singular, sua natureza é diferente das demais ciências.

A definição de Aristóteles servia na antigüidade como conceitualização de uma área do conhecimento que tinha como objeto primordialmente as grandezas, mas que já não era satisfatória na idade áurea da Matemática, quando esta começou a tratar com variáveis e ampliou o seu objeto de estudo e, serve muito menos nos dias atuais. A definição que propôs Aleksandrov, que ele mesmo reconhece ser incompleta e que caracteriza apenas a Matemática contemporânea, pode servir nos dias atuais, mas como ela deverá ser no próximo milênio?
A busca da definição de Matemática parece sem fim. Concordamos com o matemático contemporâneo Dieudonné que afirma não existir uma definição de Matemática, pelo menos não uma definição satisfatória.

Escher e a Tira de Möbius

As obras do artista holandês Maurits C. Escher (1898-1972) são fascinantes por sua beleza, singularidade, precisão técnica e também pelo seu conhecimento matemático que expressão. Muitas delas guardam dentro de si intrigantes desafios, que nos levam a observá-las repetidas vezes, até descobrirmos efeitos visuais supreendentes.

Além de ser um grande artista e dominar como poucos as diversas técnicas de gravuras, Escher sempre teve um interesse muito grande por Geometria, tanto a clássica quanto as não-euclidianas, estruturando-as sistematicamente e introduzindo em sua arte novas abordagens de conceitos espaciais.

Só a partir dessa união entre a Arte, sensibilidade e conhecimentos matemático, é possível compreender a exuberância de suas obras, com seus mosaicos, simetrias, efeitos de perspectivas e relações espaciais incomuns. Observe o jogo de perspectivas em Queda-d'água (Waterfall) e Subindo e descendo (Ascending and descending), a simetria dos mosaicos em Céu e água I (Sky and water I) e o reflexo na superfície da esfera em Mão com esfera refletora (Hand with reflecting sphere).

Em 1963, Escher produziu uma interessante gravura, denominada Tira de Möbius II (Möbius Strip II), na qual formigas caminham sobre um anel, percorrendo sua superfície, ora por dentro, ora por fora.

Esse curioso anel foi proposto pelo alemão Ferdinand Möbius, no século XIX. O anel, ou "tira de Möbius", pode ser entendido como um objeto que, curiosamente, não tem "dentro" nem "fora".

Para compreende-lo melhor, você poderá construí-lo, precisando, para isso, apenas de uma folha de papel sulfite, uma tesoura, um tubo de cola e um lápis colorido. Acompanhe os passos a seguir:

Para se convencer de que a tira de Möbius tem apenas uma face, escolha um ponto qualquer de sua superfície, e utilizando o lápis colorido, trace uma linha num sentindo qualquer, até retornar ao ponto inicial.

Fazendo isso, você perceberá que percorreu toda a extensão da tira, num trajeto que tem o dobro de seu comprimento, como se você tivesse traçando uma linha na frente e no verso da tira original que você recortou da folha de sufite. Na gravura de Escher, as formigas percorrem esse mesmo caminho duplo.

Em função da característica de se poder utilizar a frente e o verso num mesmo movimento, a tira de Möbius tem inúmeras aplicações em dispositivos de transmissão, como correias utilizadas entre polias que tracionam escadas rolantes e como esteiras de transporte de cargas leves em centrais de distribuição. Nos dois casos, obtém-se uma durabilidade maior das correias e esteiras, pois os dois lados são utilizados, ao contrário do que ocorreria numa correia ou esteira cilíndrica comum em que apenas o lado de dentro sofre atrito com polias e engrenagens.

O problema do Caixeiro Viajante

"Suponha que um caixeiro viajante tenha de visitar n cidades diferentes, iniciando e encerrando sua viagem na primeira cidade. Suponha, também, que não importa a ordem com que as cidades são visitadas e que de cada uma delas pode-se ir diretamente a qualquer outra. O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima a viagem total. "

Exemplificando o caso n = 4: se tivermos quatro cidades A, B, C e D, uma rota que o caixeiro deve considerar poderia ser: saia de A e daí vá para B, dessa vá para C, e daí vá para D e então volte a A. Quais são as outras possibilidades ?

É muito fácil ver que existem seis rotas possíveis:

ABCDA
ABDCA
ACBDA
ACDBA
ADBCA
ADCBA

O problema do caixeiro é um clássico exemplo de problema de otimização combinatória. A primeira coisa que podemos pensar para resolver esse tipo de problema é reduzí-lo a um problema de enumeração: achamos todas as rotas possíveis e, usando um computador, calculamos o comprimento de cada uma delas e então vemos qual a menor. ( É claro que se acharmos todas as rotas estaremos contando-as, daí podermos dizer que estamos reduzindo o problema de otimização a um de enumeração ).

Para acharmos o número R( n ) de rotas para o caso de n cidades, basta fazer um raciocínio combinatório simples e clássico. Por exemplo, no caso de n = 4 cidades, a primeira e última posição são fixas, de modo que elas não afetam o cálculo; na segunda posição podemos colocar qualquer uma das 3 cidades restantes B, C e D, e uma vez escolhida uma delas, podemos colocar qualquer uma das 2 restantes na terceira posição; na quarta posição não teríamos nenhuma escolha, pois sobrou apenas uma cidade; consequentemente, o número de rotas é 3 x 2 x 1 = 6, resultado que tinhamos obtido antes contando diretamente a lista de rotas acima.De modo semelhante, para o caso de n cidades, como a primeira é fixa, o leitor não terá nenhuma dificuldade em ver que o número total de escolhas que podemos fazer é (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1.

De modo que, usando a notação de fatorial: R( n ) = ( n - 1 )!.
Assim que nossa estratêgia reducionista consiste em gerar cada uma dessas R( n ) = ( n - 1 )! rotas, calcular o comprimento total das viagens de cada rota e ver qual delas tem o menor comprimento total. Trabalho fácil para o computador, diria alguém. Bem, talvez não. Vejamos o porquê.

Suponhamos temos um muito veloz computador, capaz de fazer 1 bilhão de adições por segundo. Isso parece uma velocidade imensa, capaz de tudo. Com efeito, no caso de 20 cidades, o computador precisa apenas de 19 adições para dizer qual o comprimento de uma rota e então será capaz de calcular 10^9 / 19 = 53 milhões de rotas por segundo. Contudo, essa imensa velocidade é um nada frente à imensidão do número 19! de rotas que precisará examinar. Com efeito, acredite se puder, o valor de 19! é 121 645 100 408 832 000 ( ou , aproximadamente, 1.2 x 10^17 em notação científica ). Consequentemente, ele precisará de

1.2 x 10^17 / ( 53 milhões ) = 2.3 x 10^9 segundos

para completar sua tarefa, o que equivale a cerca de 73 anos . O problema é que a quantidade ( n - 1 )! cresce com uma velocidade alarmante, sendo que muito rapidamente o computador torna-se incapaz de executar o que lhe pedimos.

Constate isso mais claramente na tabela a seguir:

Observe que o aumento no valor do n provoca uma muito lenta diminuição na velocidade com que o computador calcula o tempo de cada rota ( ela diminui apenas de um sexto ao n aumentar de 5 para 25 ), mas provoca um imensamente grande aumento no tempo total de cálculo. Em outras palavras: a inviabilidade computacional é devida à presença da fatorial na medida do esforço computacional do método da redução.

Com efeito, se essa complexidade fosse expressa em termos de um polinómio em n o nosso computador seria perfeitamente capaz de suportar o aumento do n. Confira isso na seguinte tabela que corresponde a um esforço computacional polinomial R( n ) = n5:


Então o método reducionista não é prático ( a não ser para o caso de muito poucas cidades ), mas será que não pode-se inventar algum método prático ( por exemplo, envolvendo esforço polinomial na variável número de ) para resolver o problema do caixeiro?
Bem, apesar de inúmeros esforços, ainda não foi achado um tal método e começa-se a achar que o mesmo não existe.

A existência ou não de um método polinomial para resolver o problema do caixeiro viajante é um dos grandes problemas em aberto da Matemática na medida em que S. A. COOK ( 1971 ) e R. M. KARP ( 1972 )[foto ao lado] mostraram que uma grande quantidade de problemas importantes ( como é o caso de muitos tipos de problemas de otimização combinatória, o caso do problema da decifragem de senhas criptografadas com processos modernos como o DES, etc ) podem ser reduzidos, em tempo polinomial, ao problema do caixeiro. Consequentemente: se descobrirmos como resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial ficaremos sendo capazes de resolver, também em tempo polinomial, uma grande quantidade de outros problemas matemáticos importantes; por outro lado, se um dia alguém provar que é impossível resolver o problema do caixeiro em tempo polinomial no número de cidades, também se terá estabelecido que uma grande quantidade de problemas importantes não tem solução prática.

Costuma-se resumir essas propriedades do problema do caixeiro dizendo que ele pertence à categoria dos problemas NP - completos.

Curiosidades sobre o Número de Ouro

Existem muitos livros e artigos que se referem ao retângulo de ouro como a forma mais harmoniosa, sendo usado em estruturas de música, arquitetónicas e em obras de arte.

Temos por exemplo em Atenas, uma construção bastante conhecida do tempo dos Gregos, que se chama Partenon. Foi construído por volta de 430 a. c. e, como se pode analisar pela figura abaixo, a sua estrutura baseia-se possivelmente num retângulo de ouro .

Apesar da "forma mais harmoniosa" ter origem apenas no fim de 1800, não quer dizer que esta forma não tenha sido já usada, quer pelos Gregos, quer pelos Egipcios ou pelos Babilónios, visto que, tanto as pirâmides como o próprio Partenon, ruíram ou deterioraram-se através dos tempos, não sendo possível saber ao certo as exactas medidas utilizadas.

Na arte, um dos quadros que ficou bastante conhecido e onde se encontra o retângulo de ouro, é na Gioconda (em 1505) de Leonardo Da Vinci. Se reparar, no seu rosto está inscrito um retângulo de ouro. Na altura, este quadro foi uma inovação, que se desenvolveu também com a ajuda de Luca Pacioli, autor da Divina Proporção.

Em relação há música, Stradivari usou-o nos seus famosos violinos. Também se pode encontrar nas obras de Mozart (sonatas). O número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia nº 5 e a Sinfonia nº 9 de Ludwig van Beethoven e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach é que em seus solos curtos aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.

Já na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos último dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo ao 1,618, o número de ouro.

Para outras curiosidades obre o número de ouro acesse: http://goldennumber.net/

Até a próxima!

Entre a Mística dos Números e o Rigor do Cálculo: Os Números Figurados

Pitágoras concebeu os números triangulares constituídos pelos números naturais (inteiros positivos) dispostos em triângulo:

Cada número triangular corresponde à soma dos primeiros números naturais:

*1=1;

*3=1+2;

*6=1+2+3;

*10=1+2+3+4;

*15=1+2+3+4+5;

* etc.

É fácil verificar que 1=1x2/2 (primeiro número triangular); 3=2x3/2 (segundo número triangular); 6=3x4/2 (terceiro nº. triangular).

Para encontrar o 7º número triangular basta calcular 7x8/2=28, e o n ésimo número triangular é calculado pela fórmula n(n+1)/2.

Os outros membros da Escola Pitagórica construíram os números poligonais (números quadrados e números pentagonais) e usaram essas representações para deduzir propriedades dos números inteiros. Por exemplo, a seguinte propriedade dos números ímpares: a soma dos primeiros n ímpares é um quadrado perfeito pode ser deduzida a partir da representação geométrica em números quadrados. A dedução desta e doutras propriedades pode ser vista em diversos livros de história da matemática.

Os números à nossa volta - A natureza de Fibonacci

Primeiramente, vamos conhecer um pouco mais sobre a Seqüência de Fibonacci.

Na matemática, os Números de Fibonacci são uma seqüência (sucessão, em Portugal) definida como recursiva pela fórmula abaixo:

Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores para formar o próximo. Os primeiros Números de Fibonacci são:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Agora, observe que a natureza é uma fonte inesgotável de números de Fibonacci. É possível encontrar estes números nas folhas dos ramos de uma planta. Se escolhermos uma determinada folha como ponto de partida e contarmos as folhas para cima ou para baixo, o número de folhas contadas será quase sempre um número de Fibonacci. Além disso, o número de voltas a dar em torno do ramo, apesar de variar de planta para planta, é também um número de Fibonacci.Estas voltas são contadas no sentido dos ponteiros do relógio. Mas, apesar do número de voltas ser diferente no sentido inverso, é também um número de Fibonacci.

* A faia, a aveleira e a amora silvestre têm ciclos de 3 folhas descrevendo 1 volta.
* O salgueiro e a amendoeira têm ciclos 13 folhas descrevendo 5 voltas.
* O olmo, a tília e a limeira têm ciclos 2 folhas descrevendo 1 volta.
* O carvalho, a cerejeira, a macieira, o azevinho e a ameixieira têm ciclos 5 folhas descrevendo 2 voltas.
* O choupo, o álamo, a roseira e a pereira têm ciclos 8 folhas descrevendo 3 voltas.

A botânica é, de fato, um filão de números de Fibonacci. As flores têm, geralmente, um número de Fibonacci de pétalas. Vejamos:


* Jarros: 1
* Lírios, íris, açucenas: 3
* Columbinas, ranúnculos amarelos, rosas silvestres: 5
* Malmequeres: 13
* Olhado preto, chicória: 21
* Dálias: 34
* Margaridas: 21, 34, 55 e até 89


Estes números também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. Na cabeça do girassol (usado muitas vezes como exemplo, porque, devido ao seu tamanho, é fácil de analisar), as sementes formam espirais quer para a direita, quer para a esquerda. Se contarmos ambas as espirais, teremos dois números consecutivos da série de Fibonacci.A maioria dos girassóis tem 34 e 55 espirais, mas já foram encontrados alguns de 13 e 21, 55 e 89, e de 89 e 144 espirais.Estes números de espirais podem ser encontrados frequentemente em muitas outras formas vegetais. Nas folhas das cabeças das alfaces, no alho-francês, na couve-flor, nas camadas das cebolas ou nos padrões de saliências dos ananases e das pinhas. Como se vê, a matemática é uma das linguagens das flores, e das plantas em geral. Mas no reino animal, também há números de Fibonacci. O nautilus, por exemplo, um molusco considerado um fóssil vivo, tem um concha em forma de espiral com compartimentos que utiliza para flutuar. O número de compartimentos pertence também à série de Fibonaci. Reparem que o nautilus tem uma concha em forma de espiral e que também as sementes formam padrões em espiral. Esta espiral não é inocente. Também ela está relacionada com a sucessão de Fibonacci e com a razão de ouro.

Fractais: O Triângulo de Sierpiński

O Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um processo recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades, tais como: ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais; ter área igual a zero; ser auto-semelhante (uma sua parte é idêntica ao todo); não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.

Construção

Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é através do seguinte algoritmo:

1. Começe com qualquer triângulo em um plano.
   
2. Trace os pontos médios de cada lado e em seguida trace segmentos de reta a fim de formar um triângulo central, dividindo assim, o triângulo maior em 4 triângulos.
3. Retira-se o triângulo central.
4. Repita os passos anteriores.
   

Propriedades

O triângulo de Sierpinski possui uma dimensão de Hausdorff de aproximadamente 1,585 (log(3)/log(2)). Isso acontece porque essa é uma figura formada por três cópias de sí mesma, cada uma reduzida por um fator de 1/2.

Também existe uma relação com o triângulo de Pascal . Montando o triângulo de Pascal com 2ⁿ linhas, e pintando os números pares de branco e os ímpares de preto, a figura obtida será uma aproximação do triângulo de Sierpinski.

A área de um triângulo de Sierpinski é zero. Isso pode ser percebido quando observamos que, a cada iteração, a área da figura obtida foi reduzida em 25% em relação a área da figura original.

Números Complexos

O AUTOR

Jean Robert Argand nasceu em Genebra (Suiça), a 18 de Julho de 1768. Apesar de ser apenas um matemático amador, Argand ficou famoso pela sua interpretação geométrica dos números complexos, onde i é interpretado como uma rotação de 90º.

O primeiro a publicar a interpretação geométrica de Argand foi Caspar Wessel, no entanto, o nome de Argand nunca apareceu no livro, e por isso era impossível identificar o seu autor. Foi necessário muito tempo para que o trabalho de Argand fosse conhecido como seu.

Em Setembro de 1813, Jacques Français publicou um trabalho no qual aparecia uma representação geométrica dos números complexos, com aplicações interessantes, baseadas nas ideias de Argand. Nesta publicação, Jacques Français dizia que as ideias eram baseadas no trabalho de um matemático desconhecido, e pedia que este se desse a conhecer, para receber o devido crédito pelas suas ideias. O artigo apareceu no jornal GergonneŽs, e Argand respondeu a Jacques Français dizendo que era ele o autor dessas ideias. A partir daqui o trabalho de Argand começou a ser conhecido.

Argand apresentou ainda uma prova para o "Teorema Fundamental da Álgebra", sendo, possivelmente, o primeiro a trabalhar com o teorema no caso em que os coeficientes são números complexos.

Jean Robert Argand faleceu a 13 de Agosto de 1822, em Paris.

O PLANO COMPLEXO

O plano complexo, também chamado de Plano de Argand-Gauss ou Diagrama de Argand, é um plano cartesiano usado para representar números complexos geometricamente. Nele, a parte imaginária de um número complexo é representada pela ordenada e a parte real pela abcissa. Desta forma um número complexo como 3 - 5i pode ser representado através do ponto (3, -5) no plano de Argand-Gauss.

Temos na figura ao lado um exemplo do plano. Nele, pode-se observar representados os principais elementos de um número complexo:

* A parte real, representada pela abcissa do ponto;
* a parte imaginária, representada pela ordenada do ponto;
* o módulo, representado pelo raio da circunferência de centro no ponto (0; 0);
* o argumento, representado pelo ângulo direcionado em sentido anti-horário entre o ponto z = x + yi, o ponto (0; 0) e o eixo das abcissas.

PERGUNTAS FREQÜÊNTES

*O conjunto dos números complexos só serve para resolver equações algébricas?

A álgebra dos números complexos permite representar e operar vetores no plano. Possibilita que grandezas que variam senoidalmente (ou cossenoidalmente) em função do tempo, ou seja, do tipo A sen( wt + f) , sejam representados por vetores bidimensionais (fasores) A(cos f+ isen f) , que sofre rotação em sentido anti-horário com velocidade angular w. É mais fácil operar (somar, multiplicar, etc.) com números complexos de diferentes módulos e argumentos do que operar com funções trigonométricas (senos e cossenos) de diferentes amplitudes e fases.

*O conjunto dos complexos é uma extensão dos reais?

Existe nos complexos um subconjunto (eixo x) que "é uma cópia perfeita dos reais", isto é, os reais e os complexos da forma (a,0) são identificados por meio de uma função injetora (injetiva) e sobrejetora (sobrejetiva), que preserva as operações de adição e multiplicação de complexos (isomorfismo). Então, colocando "a cópia no lugar do original", podemos dizer, "por abuso de linguagem", que os complexos contém os reais.

* O plano complexo e o plano cartesiano da Geometria Analítica são iguais?

Sob ponto de vista da Álgebra existem algumas diferenças . Quando trabalhamos com a Geometria Analítica fazemos uso da soma de vetores e da multiplicação destes por um número real. Quando trabalhamos com os complexos fazemos uso da (mesma) soma de complexos (vetores) e da multiplicação de complexos (vetores), que é essencialmente uma rotação seguida de homotetia, portanto, não é o produto interno (escalar) e muito menos o produto vetorial do Cálculo Vetorial.

A UTILIDADE

O plano de Argand-Gauss é um acessório útil pois através dele podemos algebrizar vetores bidimensionais. Devido à semelhança entre as operações com ambos elementos, esta algebrização é de grande utilidade em diversos campos da Matemática, Engenharia e Física.

ALGUMAS APLICAÇÕES

Os números complexos são muito úteis na Aerodinâmica. Joukowski (1906), utilizando transformações geométricas, construiu uma curva fechada no plano complexo que representa o perfil de uma asa de avião (aerofólio de Joukowski) e, usando o princípio de Bernoulli (1738) e a teoria das funções complexas, deduziu a fórmula

F = x + yi = -ie^(ia)*(VkLr) ,

que permite calcular a força de levantamento responsável pela sustentação do vôo de um avião. Os números complexos permitiram uma explicação matemática para o vôo. Daí em diante o progresso aeronáutico foi rápido.

Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números complexos. Grandezas como a impedância (em ohms) e a potência aparente (em volt-ampère) são exemplo de quantidades complexas. A impedância é o número complexo Z = R + jX, ou na forma polar Z = |Z|(cosf +jsenf), onde j^2 = -1 , f é o ângulo (argumento) de defasagem entre a tensão aplicada e a corrente no circuito, |Z| é o módulo, R é a resistência elétrica (em ohm) e X é a resultante (em ohm) das reatâncias indutivas e capacitivas do circuito. Na Física e na Engenharia é usado, como número imaginário, o j no lugar do i para evitar confusão com o i de corrente elétrica.


Mandelbrot (1975) estudou a equação X_(n+1) = (Xn)^2 + Z , onde Z=a+bi, i^2 = -1 e n = 1 , 2 , 3 , ... . Através de um programa recursivo de computador (um programa em loop), variou Z e o computador imprimiu na tela os pontos X_(n+1). Constatou que, para cada valor de Z uma figura era imprimida na tela. Ampliando as figuras descobriu que continham cópias aproximadas de si mesmas (auto-semelhança).

Para ter uma melhor visualização assista:
http://www.youtube.com/watch?v=ZipJNVpVYaE&eurl=http://www.profezequias.net/complexo.html

Frações e Divisões

Há 3000 antes de Cristo, os geometras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.

As pessoas utilizavam as cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número - o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.

Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.



Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.

Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão:

Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.

Você concorda com esta divisão? Por quê?

Como você poderia resolver esta situação para que todos comessem partes iguais?

Afinal: "Quem parte e reparte e não fica com a melhor parte, ou é bobo ou não tem arte."

Consideremos inicialmente uma divisão D de duas frações, denotada por:

D =1/2:2/3

Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:

D =1/2:2/3=3/6:4/6

pois 1/2 é equivalente a 3/6 e 2/3 é equivalente a 4/6. O desenho abaixo mostra as frações 1/2 e 2/3, através de suas respectivas frações equivalentes: 3/6 e 4/6.


Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não A e B, é o mesmo que procurar saber quantas partes de B estão ocupadas por A. Quantas partes da fração 4/6 estão ocupadas pela fração 3/6?

No desenho, os numeradores das frações estão em cor amarela. Como temos 3 partes em amarelo na primeira fração e 4 partes em amarelo na segunda fração, a divisão corresponde à fração 3/4, ou seja, em cada 4 partes amarelas, 3 estão ocupadas.

Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:

D =1/2:2/3=3/6 x 6/4=18/24=3/4

Na verdade, há um tratamento mais geral que o deste caso particular. A divisão de um número real a/b pelo número real c/d é, por definição, a multiplicação do número a/b pelo inverso de c/d. Acontece que o inverso de c/d é a fração d/c, assim:

a/b:c/d=a/b x d/c=a.d/b.c

A Curvatura e a Torção

Qualquer objeto em movimento descreve uma curva no espaço (pensemos, por exemplo, nas curvas que os pássaros ou as borboletas "traçam" durante os seus voos).

Existe uma "linguagem" matemática para descrever a forma das curvas no espaço?

Sim, é a "linguagem" da curvatura e, no caso tridimensional, da torção. Estas duas noções são bastante intuitivas e é possível recorrer a diversas situações do nosso quotidiano para as introduzir.

No caso das curvas planas podemos considerar a trajetória de um automóvel e observar a relação entre a sua curvatura e o comportamento do volante deste mesmo automóvel.
Imaginemo-nos a conduzir um automóvel.Se não virarmos o volante para a esquerda nem para a direita, qual será a sua trajetória?Obviamente que este segue sempre em linha reta.

Dizemos então que uma reta (ou um segmento de reta) não tem curvatura ou que tem curvatura zero (pois para mantermos essa trajetória não curvamos o volante para nenhum dos lados).Suponhamos agora que viramos o volante para a esquerda e que o mantemos sempre nessa posição. Qual será a trajetória do nosso automóvel?Ao fim de algum tempo estaremos de

novo na posição inicial, depois de percorrermos uma trajetória circular.

Dizemos então que a circunferência tem curvatura constante (mantemos essa trajetória se "curvarmos" sempre o mesmo).E se tivessemos inicialmente rodado o volante ainda mais para a esquerda do que na situação anterior? Tal como no caso anterior, teríamos novamente percorrido uma trajetória circular.Mas esta nova circunferência teria raio menor. Como é necessário "curvar" mais para percorrer esta nova trajetória circular, dizemos que a segunda circunferência tem curvatura maior que a primeira.

Se o nosso automóvel tivesse virado à direita, teríamos uma situação perfeitamente análoga e as circunferências seriam iguais às anteriores.Uma vez que as circunferências percorridas são iguais (quer se "curve" para a esquerda, quer se "curve" para a direita), não há razão para considerar que a intensidade da curvatura é diferente nas duas situações.

Mas então como é que podemos distinguir estas duas situações?

A solução é dar o mesmo valor, em módulo, para a curvatura nos dois casos, mas definir que virar para um dos lados é positivo e para o outro é negativo.

Em Matemática, convenciona-se que as curvas que "curvam" para a esquerda têm curvatura positiva enquanto que as que "curvam" para a direita têm curvatura negativa.

Resumindo, o sinal da curvatura representa o lado para onde "se curva" enquanto que o seu módulo representa a intensidade com que "se curva".Verificam-se ainda as seguintes propriedades:

1. As retas têm curvatura zero.
2. As circunferências têm curvatura constante.
3. As circunferências percorridas no sentido anti-horário (contrário ao movimento dos ponteiros do relógio) têm curvatura positiva.
4. As circunferências percorridas no sentido horário têm curvatura negativa.
5. Quanto menor for o raio da circunferência, maior será o valor da sua curvatura (em módulo).

No caso das curvas tridimensionais, um exemplo natural é o avião e as suas possíveis trajetórias. O avião efetua os mesmos movimentos que um automóvel - por exemplo, quando está na pista de aterragem, o avião pode movimentar-se em linha reta ou em círculos como se fosse um carro normal - aos quais são acrescentados, grosso modo, os movimentos de subida e descida para que este consiga efetivamente voar.

Analisemos em primeiro lugar a situação em que o avião se mantém sempre no mesmo plano como, por exemplo, na pista de aterragem. Nesta situação, todas as propriedades estudadas anteriormente continuam válidas como, por exemplo:

• as retas têm curvatura zero;
• as circunferências têm curvatura constante.

Uma reta e uma circunferência são ambas curvas planas, mas existe uma grande diferença entre estes dois tipos de curvas: uma circunferência apenas está contida num plano (e em mais nenhum) enquanto que uma reta está contida numa infinidade deles.

Uma vez que a circunferência está contida num único plano (nunca se "torcendo" para tentar fugir a esse plano), diz-se, em Matemática, que não tem torção ou que tem torção nula. Apesar de a reta também ser uma curva plana, esta curva não tem torção definida - devido à sua propriedade de estar contida numa infinidade de planos.

Imaginemos um avião num movimento ascendente constante e suponhamos ainda que viramos o seu "manche" para a esquerda e que o mantemos sempre fixo. Qual será a trajecória deste avião?

O avião vai percorrer uma trajetória helicoidal.
Como o "manche" está sempre fixo para a esquerda, dizemos que esta curva tem curvatura constante não nula. Como o movimento ascendente é constante, diz-se também que esta curva tem torção constante não nula (note-se que a hélice não é uma curva plana).

A curvatura mede, em cada ponto, o quão rapidamente a curva se afasta da reta tangente à curva nesse mesmo ponto.

A torção mede, em cada ponto, o quão rapidamente a curva se afasta do plano osculador à curva nesse mesmo ponto.Mas será que a curvatura e a torção são medidas suficientes para definir a forma de uma curva? De fato, existe um resultado similar ao Teorema Fundamental das Curvas Planas no caso tridimensional, mas é necessário considerar um pressuposto adicional em relação à função curvatura, que é o fato de esta ter que ser sempre maior que zero. Esta propriedade da função curvatura é essencial para se obter a unicidade da curva.

Tem-se então o Teorema Fundamental das Curvas, que garante que se duas curvas tiverem a mesma função curvatura (com k>0) e a mesma função torção, existe um movimento rígido de 3 que transforma uma curva na outra.

Isto significa que é possível transformar qualquer uma das curvas na outra sem recorrer a deformações, ou seja, utilizando apenas translações e rotações.

Em futuros post's veremos um pouco mais sobre essa e outras magníficas propriedades que as curvas possuem... =]

Um desafio do papiro Ahmes

Um pouquinho da história....

Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egito tinha um súdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”. Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egito. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.

O papiro Ahmes é um antigo manual de matemática. Contém 80 problemas, todos resolvido. A maioria envolvendo assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no

Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreender o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egito – no século XVIII também foi muito útil. O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:

1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 Os egípcios usavam símbolos para representar esses números. Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam 100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:

Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave. Na escrita dos números que usamos atualmente, a ordem dos algarismos é muito importante. Se tomarmos um número, como por exemplo: 256 e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes: 265 526 562 625 652 Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45

Agora o desafio retirado do antigo papiro de Ahmes (ou Rhind), cerca de 1650 a.C.

"Linda donzela, de olhos brilhantes, diz-me qual o número que, multiplicado por 3, somado a três quartos do produto, dividido por 7, subtraindo de um terço do quociente, multiplicado por si mesmo, subtraindo de 52, tendo sua raiz quadrada extraída, somado a 8 e depois dividido por 10, dá o número 2?"

Solução:

Resolvendo do fim para o começo, temos que, se dividindo o penúltimo resultado por 10, dá 2, aquele será 20; se o anterior, somado a 8 dá 20, aquele será 12; se o anterior, tendo sua raiz quadrada extraída dá 12, aquele será 144; se o anterior subtraindo 52 dá 144, aquele será 196; se o anterior multiplicado por si mesmo dá 196, aquele será 14; se subtraindo um terço do anterior dá 14, aquele será 21; se o anterior dividido por 7 dá 21, aquele será 147; se ao anterior for somado três quartos dá 147, será 84; finalmente, se o número multiplicado por 3 dá 84, ele será, 28.