Fractais: O Triângulo de Sierpiński

O Triângulo de Sierpinski é uma figura geométrica obtida através de um processo recursivo. Ele é uma das formas elementares da geometria fractal por apresentar algumas propriedades, tais como: ter tantos pontos como o do conjunto dos números reais; ter área igual a zero; ser auto-semelhante (uma sua parte é idêntica ao todo); não perder a sua definição inicial à medida que é ampliado.

Construção

Uma das maneiras de se obter um triângulo de Sierpinski é através do seguinte algoritmo:

1. Começe com qualquer triângulo em um plano.
   
2. Trace os pontos médios de cada lado e em seguida trace segmentos de reta a fim de formar um triângulo central, dividindo assim, o triângulo maior em 4 triângulos.
3. Retira-se o triângulo central.
4. Repita os passos anteriores.
   

Propriedades

O triângulo de Sierpinski possui uma dimensão de Hausdorff de aproximadamente 1,585 (log(3)/log(2)). Isso acontece porque essa é uma figura formada por três cópias de sí mesma, cada uma reduzida por um fator de 1/2.

Também existe uma relação com o triângulo de Pascal . Montando o triângulo de Pascal com 2ⁿ linhas, e pintando os números pares de branco e os ímpares de preto, a figura obtida será uma aproximação do triângulo de Sierpinski.

A área de um triângulo de Sierpinski é zero. Isso pode ser percebido quando observamos que, a cada iteração, a área da figura obtida foi reduzida em 25% em relação a área da figura original.