Lei do Resfriamento de Newton

Além das grande contribuições para a Física, Newton também deixou algumas contribuições para a Matemática. Uma delas refere-se às trocas de calor entre corpos. O mais interessante disto, para nós, é a modelagem do problema, que recairá em uma equação diferencial.

Vamos ao problema...

Sobre a condução do calor, um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente em que o mesmo está colocado, aceita três hipóteses básicas:

1. A temperatura T = T (t) depende do tempo t e é a mesma em todos os pontos do corpo.
2. A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante ao longo da experiência.
3. A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo t é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

A montagem e resolução da equação diferencial, assume verdadeiras as hipóteses e dessa forma

onde T = T (t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente e k é uma constante que depende do material com que o corpo foi construido, sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do
tempo, em relação à temperatura do meio ambiente.

Esta equação diferencial é separável, que pode ser transformada em:

Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, teremos:

Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, obteremos:


e a solução da equação diferencial será

Se sabemos que a temperatura inicial do corpo é T (0) = T0 , então substituindo t = 0 na solução da equação, podemos obter a constante C que aparece na solução, pois

A solução do PVI (Problema de Valor Inicial)

será então dada por



Pronto. Chegamos ao queríamos: um modelo matemático para o problema do resfriamento de um corpo.

Sendo assim, até a próxima!