A irmã Matemática e a irmã Lógica

Duas freiras saíram do convento para vender biscoitos. Uma é conhecida como Irmã Matemática (M) e a outra é conhecida como Irmã Lógica (L)

M - Está ficando escuro e nós ainda estamos longe do convento!!!
L - Você reparou que um Homem está nos seguindo há uma meia hora?
M - Sim, o que será que ele quer?
L - É lógico! Ele quer nos estuprar.
M - Oh não! Se continuarmos neste ritmo ele vai nos alcançar em, no máximo 15 minutos. O que vamos fazer?
L - A única coisa lógica a fazer é andarmos mais rápido!!!
M - Não está funcionando.
L - Claro que não! Ele fez a única coisa lógica a fazer: ele também, começou a andar mais rápido.
M - E agora, o que devemos fazer? Ele nos alcançará em 1 minuto!
L - A única coisa lógica que nos resta fazer, é nos separar! Você vai para aquele lado que eu vou para este lado. Ele não poderá seguir nós duas.

Então o homem decidiu seguir a Irmã Lógica. A Irmã Matemática chegou ao convento preocupada com o que poderia ter acontecido à Irmã Lógica. Então a Irmã Lógica chegou.

M - Irmã Lógica!! Graças a Deus você chegou! Me conte o que aconteceu!!!
L - Aconteceu o lógico. O homem não podia seguir nós duas então ele optou por me seguir.
M - Sim, mas o que aconteceu depois?
L - O lógico, eu comecei a correr o mais rápido que podia e ele correu o mais rápido que ele podia também.
M - E?
L - Novamente aconteceu o lógico: ele me alcançou.
M - O meu Deus! O que você fez?
L - Eu fiz o lógico, levantei meu hábito.
M - Oh, Irmã! O que o homem fez? L - Ele também fez o lógico e abaixou as calças.
M - Oh não! O que aconteceu depois?
L - Não é óbvio Irmã? Uma freira com o hábito levantado consegue correr muito mais rápido do que um homem com as calças abaixadas!!!!!

A Matemática e o Jogo de Xadrez

Há uma lenda que diz que um rei perguntou ao inventor do jogo de xadrez que ele queria uma recompensa por ter inventado esse jogo. E o inventor respondeu: "1 grão de trigo pela primeira casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta, 16 pela quinta, e assim por diante, sempre dobrando a quantidade a cada casa nova".

Como o tabuleiro de xadrez tem 64 casa, o inventor pediu a soma dos primeiros 64 termos da PG: 1, 2, 4, 8, 16, 32,... de razão q=2

Fazendo esses cálculos, encontramos o gigantesco número de vinte algarismos: 18 446 744 073 709 551 615. Coitado do rei! Será que ele teria uma superficie suficientemente grande para conter uma plantação de trigo com esse número de grãos?????

Interessante!

Até a Próxima...

Ábaco

Agora um pouco da matemática mais velha....

Falaremos um pouco do ábaco um antigo instrumento de cálculo, formado por uma moldura com bastões ou arames paralelos, dispostos no sentido vertical, correspondentes cada um a uma posição digital (unidades, dezenas,...) e nos quais estão os elementos de contagem (fichas, bolas, contas,...) que podem fazer-se deslizar livremente. Teve origem provavelmente na Mesopotâmia, há mais de 5.500 anos. O ábaco pode ser considerado como uma extensão do ato natural de se contar nos dedos.

Estrutura e construção

O ábaco padrão pode ser usado para executar a adição, a subtração, a divisão e a multiplicação; o ábaco pode também ser usado para extrair raizes quadrados e raizes cúbicos.
Tipicamente, o ábaco é construído de vários tipos de madeira e vem em varios tamanhos. O frame do ábaco tem uma série das hastes verticais em que um número de contas de madeira são permitidos deslizar livremente. Um feixe horizontal separa o frame em duas seções, sabidas como a plataforma superior e a plataforma inferior.

A técnica

A técnica apropriada do uso do dedo é importante para conseguir a proficiência no ábaco. Com um ábaco chinês, o polegar e o dedo indicador junto com o dedo médio são usados para manipular as contas. As contas na plataforma inferior são movidos para cima com o polegar e para baixo com o dedo indicador. Em determinados cálculos, o dedo médio é usado para mover contos na plataforma superior.

Técnica Dos Dedos: Um livro se texto japonês publicado em 1954 mostra a técnica apropriada para mover as contas. Mostra o polegar que está sendo usado para contar as contas na plataforma inferior e o dedo indicador que está sendo usados em todos casos restantes.Com a versão japonesa do ábaco, somente o indicador e o polegar são usados. As contas são movidos para cima com o polegar e para baixo com o dedo indicador. Entretanto, determinadas operações complexas requerem que o movimento do dedo do índice beads acima; por exemplo adicionando 3 a 8 (a adição dos três é chamada Jian Chi Jia Shi que significa literalmente, "subtrai 7 adiciona 10" ).
Esta versão do ábaco de Java é uma simulação limitada do instrumento real porque a técnica do uso do dedo é encoberta completamente pelo rato. Com um ábaco real, a prática constante é indispensaval para adquirir virtuosidade de e rapidez no cálculo de.

O ábaco hoje...

O ábaco é ainda usado hoje por comerciantes na Ásia e em "Chinatowns" na America do Norte. O uso do ábaco é ensinado ainda em escolas asiáticas, e em algumas escolas no ocidente. Ensina-se às crianças cegas usar o ábaco onde em contrapartida, os colegas com visão normal seriam ensinadas executar cálculos com papel e o lápis.
Um uso particular para o ábaco está no ensino de matemática e especial a multiplicação simples às crianças; o ábaco é um substituto excelente para a memorizaçao de tabelas da multiplicação, uma tarefa particularmente detestada para crianças jovens. O ábaco é também um instrumento excelente para ensinar outros sistemas de numeraçao de bases diferents porque se adapta fàcilmente a qualquer base.

Mas eu prefiro a tão amada calculadora científica, ou o Maple! Santo Computador! =]

Os Quatro Quatros

Você sabia que com quatro quatros é possível escrever qualquer numeral de 0 a 100?Não acredita? É o que dizem alguns matemáticos...É claro que para isso precisamos utilizar do fatorial (produto da multiplicação do algarismo até 1. Ex: 5! = 5x4x3x2x1= 120) e da raíz quadrada.Aqui vou demonstrar aluns exemplos:
- Quer formar o zero? 44 - 44
- Passemos ao 1: 44/44
- Quer ver agora o número 2? 4/4+4/4
- O 3 é mais fácil. Basta escrever a expressão: (4+4+4)/4
- E como formar o próprio 4? 4+(4-4)/4 (A segunda parcela é nula, então a soma fica igual a quatro.)
- Para formar o 5: (4*4+4)/4 (É a divisão de 20 por 4 que é igual a 5.)
- Passemos ao 6: 4+(4+4)/4
- Uma pequena alteração nesse conjunto nos conduz ao resultado 7: 44/4-4
- O resultado 8 também é muito simples: 4+4+4-4
- O número 9 não deixa também de ser interessante: 4+4+4/4
- Eis agora o 10: (44-4)/4

Algumas operações muito interessantes
- A primeira é a que o resultado dá 24:4! + 4(4 - 4)
- A seguir o resultado 25: 4! + 4^( 4 - 4)
- O 4!= 24, e o expoente 4 - 4 é igual a zero. Sabemos que todo número elevado a zero dá sempre um.Então 24 + 1 = 25.
- Já o número 26 é bem simples: 4!+(4+4)/4
- Também, como ja disse, podemos fazer numerais mais altos como o 49 e o 97: 4!+4!+4/4=49 e 4!*4+4/4=97

Viu que interessante?
Eu te desafio a descobrir os outros números!

Até a Próxima...

Fibonacci

Falando agora, um pouco da hisória da matemática, falaremos sobre Leonardo de Pisa, conhecido mundialmente como Fibonacci, um pouco da sua biografia tem como partes principais que nasceu em Pisa, centro comercial importante na Itália. Seu pai era comerciante e tinha negócios no norte da África. Assim Leonardo estudou com um professor muçulmano e viajou pelo Egito, Síria e Grécia, onde entrou em contato com os procedimentos matemáticos orientais, com os métodos algébricos árabes e os numerais indo-arábicos. Ao retornar a sua terra natal, publicou sua obra mais famosa intitulada Liber abaci (ou livro do Abaco). Não é um livro apenas sobre o ábaco, é um tratado muito completo sobre os métodos e problemas algébricos em que o uso de numerais indo-arábicos é fortemente recomendado.

Sobre a Liber abaci é importante saber que é um livro que inicia-se com a idéia de que a aritmética e a geometria são interligados e se auxiliam mutuamente; no entanto, ele trata muito mais de números que de geometria, descrevendo primeiro as nove cifras indianas, juntamente com o símbolo 0, chamado zephirum em árabe. Explica métodos de cálculo com inteiros e frações com estes, cálculo de raízes quadradas e cúbicas, resolução de equações lineares e quadráticas, tanto pelo método de falsa posição como por processos algébricos. As raízes negativas e imaginárias não são admitidas. Há aplicações envolvendo permuta de mercadorias, sociedades e geometria mensurativa. Há também uma farta coleção de problemas, dentre as quais o que deu origem à importante seqüência de Fibonacci:

"Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês ? "

Isto leva a considerar a seqüência 1,1,2,3,5,8,13,21,...,u_n,..., onde u_n=u_(n-1)+u_(n-2), isto é, em que cada termo após os dois primeiros é a soma dos dois anteriores.
Verificou-se que essa seqüência tem muitas propriedades belas e significativas. Por exemplo, pode-se provar que dois termos sucessivos quaisquer são primos entre si e que o limite quando n tende ao infinito de u_(n-1)/u_n é igual a (sqrt{5}-1)/2 , a secção áurea.

Em 1220 apareceu a Practica geometriae, uma coleção de material sobre geometria e trigonometria, numa abordagem hábil feita com rigor euclidiano, contendo entre outras coisas, uma prova de que as medianas de um triângulo se dividem na razão de dois para um e um análogo tridimensional do Teorema de Pitágoras.

Os talentos de Fibonacci chamaram atenção do imperador Frederico II, convidando-o a participar de um torneio matemático na corte. Um dos problemas propostos era achar um número racional tal que se somar, ou subtrair, cinco do quadrado de número, o resultado seja o quadrado de um número racional. Tanto o problema como a solução 3.5/12, são dados no Liber quadratorum, um trabalho brilhante e original sobre análise indeterminada, que o colocou na posição de matemático mais importante desse campo entre Diofanto e Fermat.

Fibonacci tentou provar que nenhuma raiz da equação cúbica x^3+2x^2+10x=20 pode ser expressa irracionalmente na forma sqrt{a}+sqrt{b} , ou seja, nenhuma raiz pode ser construída com régua e compasso. Esta prova esta no tratado intitulado Flos (Floração ou Flor).

Fibonacci foi uma matemático excepcional e sua exposição da numeração indo-arábico foi importante no processo de transmissão destes, mas somente no século dezesseis seu uso tornou-se comum.

Você é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente 5.050 ao seu professor surpreendendo-o pela sua grande habilidade na matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Príncipe da Matemática".

Vejam abaixo a resolução proposta por Gauss (isso aos 10 anos de idade):

Até a Próxima...

Curiosidades da Matemática

A matemática tem coisas que nem Pitágoras explicaria. Aqui vai uma delas...

Pegue num lápis e numa folha de papel.

1- Escreva os 3 primeiros algarismos de seu telefone (não vale o indicativo 91, 96, 21 ou 22 ou 26...);

2- Multiplique por 80.

3- Some 1.

4- Multiplique por 250.

5- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone.

6- Some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo.

7- Diminua 250.8- Divida por 2.

Reconhece o resultado???????

Que relação matemática há por trás disso?????

Até a próxima...

Construções com régua e compasso

Em geometria, uma construção com régua e compasso é o desenho geométrico de segmentos de reta ou ângulos usando apenas uma régua e um compasso idealizados ou seja:
A régua pode ser usada para construir um segmento tão longo quanto se queira que contenha dois pontos dados. Particularmente tal régua não é graduada, não podendo ser utilizada para medir;
O compasso pode ser usado para construir a circunferência de centro em um dado ponto A e que passa por um dado ponto B. Assim deve ter pernas tão compridas quanto precisamos.
As construções com régua e compasso são baseadas nos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides por isso são também conhecidas por “construções euclidianas”, apesar dos termos “régua” e “compasso” não aparecerem nessa obra.

Três problemas clássicos

Os problemas a seguir desafiaram os geômetras gregos e com o passar dos anos envolveram gerações de matemáticos.

QUADRATURA DO CÍRCULO

A quadratura do círculo é um problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo servindo-se somente de uma régua e um compasso em um número finito de etapas. Em 1882, Ferdinand Lindemann provou que π é um número transcendente, isto é, não existe um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais não todos nulos dos quais π seja uma raiz. Como resultado disso, é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de frações racionais ou suas raízes.
A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com uma régua e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.

DUPLICAÇÃO DO CUBO





A duplicação do cubo é o problema de geometria que consiste em obter um método para, dada a aresta de um cubo, construir, com régua e compasso, a aresta do cubo cujo volume é o dobro do cubo inicial.





Solução Analítica: Seja a aresta do cubo a ser duplicado e seja (a,0,0) o centro de três círculos mutuamente ortogonais de raio a e cada um situado num plano perpendicular a um eixo coordenado. Sobre o círculo perpendicular ao eixo Ox construa-se um cone circular com vértice em (0,0,0); sobre o círculo no plano xy construa-se um cilindro circular reto; seja o círculo no plano xy girado em torno do eixo Oz para gerar um toro. As equações dessas superfícies são respectivamente:

• x²=y²+z²
  
• 2ax=x²+y²
  
• (x²+y²+z²)²=4a²(x²+y²)
  

Essas três superfícies se encontram num ponto cuja coordenada x é a.2^{1/3}, que é a aresta do cubo procurado.


TRISSECÇÃO DO ÂNGULO

Trissecção do ângulo é um dos problemas clássicos da geometria sobre construções com régua e compasso e consiste em, dado um ângulo qualquer, construir um outro com um terço de sua amplitude.

O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois dos seus vértices é de 120º, resulta daqui que o ângulo de 120º não pode ser trissectado somente com régua e compasso. No entanto Gauss nunca publicou uma demonstração do seu enunciado.

O Número Pi

O número Pi representa a quociente entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro p e diâmetro d, então aquele número é igual a p/d. É representado pela letra grega π. O Pi Tem o valor aproximado de 3,1415...

Matemáticos de várias eras tentaram buscar uma racionalidade de π, ou seja, tentar descrevê-lo como uma razão π = p/q, onde p e q são números inteiros. Esses estudos culminaram em se aceitar que π é irracional, ou seja, não pode ser precisamente representado por uma equação π = p/q. A irracionalidade de π foi demonstrada em 1761 por Johann Heinrich Lambert.

Da mesma forma estudos matemáticos provaram que π não pode ser obtido diretamente através de nenhuma função polinomial de coeficientes inteiros ou racionais do qual π seja uma raiz, significando que π é um número transcendente. Para o cálculo de π são necessárias aproximações através de séries infinitas de somas.

A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com uma régua e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de uma determinada circunferência.

Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideremos que π é um numero irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.

Método do cálculo de π por Arquimedes

Um dos mais conhecidos matemáticos da Antigüidade, Arquimedes, que viveu por volta do século III a.C. na Grécia, também quis descobrir a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Partiu de um hexágono regular e calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Com esse perímetro calculado, ele definiu que o valor de π estaria entre 3,1408 e 3,1428.

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.

Um fato interessante é que a aproximação do Pi pode ser feita a partir de polígonos inscritos ou circunscritos. Daí temos a seguite relação:

Observe esta tabela com dados sobre o polígono regular dado:

Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

Curiosidades sobre o Pi

(1) Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:

"Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cincocôvados de altura e trinta de circunferência."

sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.

(2) Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.

(3) O símbolo usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.

(4) O valor de correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.

(5) Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento Pi através de régua e compasso.

(6) O número exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.

(7) Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de com mais de cem mil dígitos decimais.

Que interessante é conhecer sobre o Pi!!!

Até a próxima...

Problemas em aberto

E, para os que dizem que a matemática já está acabada, e que não há nada de novo para se descobrir, aqui coloco alguns problemas que ainda não possuem solução. Por favor quem conseguir resolver algum comunique imediatamente as autoridades! =P

1) Dois primos são ditos primos gêmeos se a diferença entre eles é 2.
Por exemplo: 7 e 5; 13 e 11; 19 e 17
"O número de pares de primos gêmeos é finito ou infinito???"

2) Conjectura de Goldbach
Escreva os inteiros abaixo como a soma de dois primos ímpares:

6=3+3

8=5+3

10=7+3

12=5+7

14=7+7

16=11+5

18=11+7

"Todo par maior do que quatro pode ser escrito como soma de dois primos ímpares???"

3) Determine a soma dos divisores positivos dos inteiros:

a) 6=1+2+3+6=12=2.12

b)496=1+2+4+8+16+31+62+124+248+496=992=2.496

Definição: Dizemos que um número n é perfeito se a soma de seus divisores positivos é 2n.

"Mostre que se ((2^n) -1) é um número primo, então (2^n-1).((2^n)-1) é um número perfeito. Existem então números perfeitos que são ímpares???"

O Matemático e o Motorista

Aquele matemático famoso estava a caminho de uma conferência quando o seu motorista comentou:
- Patrão, já ouvi tantas vezes a sua palestra que tenho certeza de que poderia fazê-lo no seu lugar, se o senhor ficasse doente.
- Isso é impossível!
- Quer apostar?!

E fizeram a aposta! Trocaram de roupa, e quando chegaram no local da conferência o motorista foi para a Tribuna enquanto o matemático instalou-se na última fila, como se fosse seu motorista.

Depois da palestra, começou a sessão de perguntas, que ele respondeu com precisão. No entanto, em certo momento, levantou-se um sujeito que apresentou uma questão dificílima. Longe de entrar em pânico, ele saiu-se com esta:

- Meu jovem, essa pergunta é tão fácil... mas, tão fácil... que vou pedir para o meu motorista responder!

Hehehe.... Interessante! rsrs
Até a próxima...

Mundo Matemático: Matemática & Páscoa

Eu sei que não estamos exatamente na Páscoa, porém esse texto é bem interessante, então lá vai!


O matemático Johann Friederich Carl Gauss propôs um método para determinar as datas de Páscoa, cujas regras foram definidas no Concílio de Nicéia (325 d.C.).
Conforme definido, a Páscoa deve ser celebrada no domingo seguinte à primeira lua cheia da Primavera (na Europa). Gauss desenvolveu uma regra prática para calcular a data da Páscoa no calendário gregoriano, a partir de 1583.
Considere A como sendo o ano, e m e n dois números que variam ao longo do tempo de acordo com a seguinte tabela:





Considere também:
a o resto da divisão de A por 19
b o resto da divisão de A por 4
c o resto da divisão de A por 7
d resto da divisão de 19a+m por 30
e o resto da divisão de 2b+4c+6d+n por 7

Então a Páscoa será no dia 22+d+e de março ou d+e-9 de Abril

Observações:
1. O dia 26 de abril deve ser sempre substituído por 19 de abril.
2. O dia 25 de abril deve ser substituído por 18 de abril se d=28, e=6 e a>10.

Você quer saber como Gauss chegou a essa conclusão? Nós também gostaríamos de saber :-)

1+1=2

Gente, agora eu gostaria de mostrar a elegância de uma das mais famosas teorias da matemática, acredito que seja a mais usual e a mais conhecida de todos, além de que é a mais usada em exemplos dados para tentar diminuir a matemática ("Grandes coisas! Quem vai querer estudar o resto da vida pra descobrir que 1+1=2!").

Por isso aos que menosprezam a maravilhosa expressão "1+1=2", deixo esse link e espero que acessem para descobrir a maravilha que os espera, quem já sabe um pouquinho de matemática talvez compreenda o que será dito!...

http://www.ceciliamenon.com.br/arquivos_imagem/1_1_2.pps#256,1,Slide

See you....

A Matemática da Música: A Relação Harmoniosa entre os Números e o Som

A música é sem dúvida nenhuma é a arte mais popular do planeta. Mas, o que pouca gente sabe, é que por trás de um chorinho, ou de uma complexa sinfonia de Bach ou Villa-Lobos, existem relações matemáticas muito simples que ajudam a formar, ao lado do talento dos homens, o edifício sonoro da nossa Música.
Na sua definição mais simples, Música é "ritmo e som". Ou seja, é uma combinação de sons executados em determinada cadência. A importância da Matemática na Música está presente desde a concepção mais fundamental do que é "som musical" e do que é "ritmo".
Os sons com os quais podemos criar nossas músicas constituem o que chamamos de "escala musical". Eles são definidos a partir de relações matemáticas muito precisas e, quando combinados de determinadas maneiras, podem produzir resultados agradáveis aos nossos ouvidos. Essas relações matemáticas, junto com as características intrínsecas das vibrações sonoras, são a base para a "harmonia" na superposição dos sons musicais.
Por outro lado, a maneira como encadeamos os sons em nossas músicas também segue regras com fundamentos matemáticos. Todos os tipos de "ritmos" que podemos conceber musicalmente obedecem a algum tipo de divisão fracionária, cuja característica sempre está vinculada a um determinado gênero artístico ou a um tipo de cultura.
Conhecer essas influências matemáticas é, antes de tudo, conhecer a essência da própria Música.
No que se refere ao ritmo, a Música é organizada em "pedaços" contendo o mesmo número de tempos do compasso de referência. Por exemplo, numa música que utilize compasso quaternário, os pedaços (que também são chamados de "compassos") contêm sempre 4 tempos.
Observe a tabela abaixo que relaciona os símbolos musicais com os seus respectivos valores matemáticos:

Você sabia que a Matemática e Música são linguagens Internacionais? Ou seja, se você pegar um texo matemático ou uma partitura musical, por exemplo, você será capaz de entender o que está escrito. Basta ter um pouco de conhecimento da área de suas simbologias!

Interessante! Até a Próxima...

O Número Phi

A diferença entre o PHI e o Pi é muito mais que só o 'H'. O número PHI, representado pelo número 1,618 é muito importante na arte. O PHI é geralmente considerado o número mais belo do mundo. Este número vem da série de Fibonacci - uma progressão famosa não só porque a soma dos termos adjacentes equivalia ao termo seguinte, mas porque os quocientes dos termos adjacentes possuíam a estarrecedora propriedade de irem se aproximando gradativamente do número 1,618, o PHI!

Apesar das origens matemáticas aparentemente místicas do PHI, o aspecto surpreendente do PHI foi seu papel como componente básico na Natureza. Plantas, animais e até seres humanos - todos possuíam propriedades dimensionais que se encaixavam com uma exatidão espantosa à razão de PHI para um. A unipresença do PHI na natureza está além da coincidência, e assim os antigos presumiram que o número PHI deve ter sido predeterminado pelo Criador do universo. Os primeiros cientistas solenemente anunciaram que o número um vírgula seis um oito era a Divina Proporção.

Exemplos:
1) Se você dividir o número de abelhas fêmeas pelo número de abelhas machos em qualquer colméia do mundo, vai sempre obter o mesmo número: PHI, 1,618.
2) Um miolo de flor de girassol. As sementes de girassol crescem em espirais opostas. A razão de cada rotação para a seguinte é de 1,618, PHI.Leonardo Da Vince foi o primeiro a demonstrar que o corpo humano é literalmente feito de componentes cujas razões proporcionais sempre equivalem a PHI.

Leonardo Da Vinci foi o primeiro a demonstrar que o corpo humano é literalmente feito de componentes cujas razões proporcionais sempre equivalem a PHI.

3) Se você dividir a distância que vai do alto da cabeça até o chão, depois dividir o resultado pela distância do umbigo até o chão, vai obter 1,618, PHI.
4) A distância de um ombro até a ponta dos dedos dividido pela distância entre o cotovelo até a ponta dos dedos. PHI, 1,618.

Interessante! Até a Próxima...

Álgebra geométrica Grega

A álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos e por Euclides era geométrica. Por exemplo, o que nós escrevemos como:
(a+b)² = a² + 2ab + b²
era concebido pelos gregos em termos do diagrama apresentado na Figura 1 e era curiosamente enunciado por Euclides em Elementos, livro II, proposição 4:
Se uma linha reta é dividida em duas partes quaisquer, o quadrado sobre a linha toda é igual aos quadrados sobre as duas partes, junto com duas vezes o retângulo que as partes contém. [Isto é, (a+b)² = a² + 2ab + b²]
Somos tentados a dizer que, para os gregos da época de Euclides, a2 era realmente um quadrado.
Não há dúvida de que os pitagóricos conheciam bem a álgebra babilônica e, de fato, seguiam os métodos-padrão babilônios de resolução de equações. Euclides deixou registrados esses resultados pitagóricos. Para ilustrá-lo, escolhemos o teorema correspondente ao problema babilônio considerado acima.

Do livro VI dos Elementos, temos a proposição 28 (uma versão simplificada):
Dada uma linha reta AB [isto é, x+y=k], construir ao longo dessa linha um retângulo com uma dada área [xy = P], admitindo que o retângulo "fique aquém" em AB por uma quantidade "preenchida" por outro retângulo [o quadrado BF na Figura 2], semelhante a um dado retângulo [que aqui nós admitimos ser qualquer quadrado].

Na solução desta construção solicitada (Fig.2) o trabalho de Euclides é quase exatamente paralelo à solução babilônica do problema equivalente. Conforme indicado por T.L.Heath / EUCLID: II, 263/, os passos são os seguintes:

Bissecte AB em M:
k/2
Construa o quadrado MBCD:
(k/2)²
Usando VI, 25, construa o quadrado DEFG com área igual ao excesso de MBCD sobre a área dada P:
t² = (k/2)² - P
Então é claro que
y = (k/2) - t

Como fazia frequentemente, Euclides deixou o outro caso para o estudante - neste caso,

x=(k/2+t), o que Euclides certamente percebeu mas não formulou.
É de fato notável que a maior parte dos problemas-padrão babilônicos tenham sido "refeitos" desse modo por Euclides. Mas por quê? O que levou os gregos a darem à sua álgebra esta formulação desajeitada? A resposta é básica: eles tinham dificuldades conceituais com frações e números irracionais.

Mesmo que os matemáticos gregos fossem capazes de contornar as frações, tratando-as como razões de inteiros, eles tinham dificuldades insuperáveis com números como a raiz quadrada de 2, por exemplo. Lembramos o "escândalo lógico" dos pitagóricos quando descobriram que a diagonal de um quadrado unitário é incomensurável com o lado (ou seja, diag/lado é diferente da razão de dois inteiros).
Assim, foi seu estrito rigor matemático que os forçou a usar um conjunto de segmentos de reta como domínio conveniente de elementos. Pois, ainda que raiz quadrada de 2 não possa ser expresso em termos de inteiros ou suas razões, pode ser representado como um segmento de reta que é precisamente a diagonal do quadrado unitário. Talvez não seja apenas um gracejo dizer que o contínuo linear era literalmente linear.

De passagem devemos mencionar Apolônio (c. 225 a.C.), que aplicou métodos geométricos ao estudo das secções cônicas. De fato, seu grande tratado Secções cônicas contém mais geometria analítica das cônicas - toda fraseada em terminologia geométrica - do que os cursos universitários de hoje.
A matemática grega deu uma parada brusca. A ocupação romana tinha começado, e não encorajava a erudição matemática, ainda que estimulasse alguns outros ramos da cultura grega. Devido ao estilo pesado da álgebra geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita; necessitava de um meio de comunicação vivo, oral. Era possível seguir o fluxo de idéias desde que um instrutor apontasse para diagramas e explicasse; mas as escolas de instrução direta não sobreviveram.

O Google e a Matemática

O popular motor de busca da internet tem um nome matemático. Google é uma derivação de googol (em inglês, pronunciam-se de forma semelhante). Um googol é um número com 101 dígitos (o primeiro é 1 e os outros 100 são zeros) cuja designação se deve a Eduard Kasner que no seu livro Mathematics and the Imagination de 1967, introduz o termo que terá sido pronunciado pela primeira vez pelo seu sobrinho de 9 anos, Milton Sirotta em 1938.A sintaxe de um googol 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,lembra o Goooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooogle escrito após cada pesquisa...
Mas há mais...Em 2004 a empresa anunciou que pretendia angariar $2,718,281,828 na sua operação de venda de acções. O anúncio é curioso uma vez que se trata da expansão decimal do número e.No verão desse ano, a empresa voltou ao e... Lançou o desafio de descobrir o descobrir os primeiros 10 dígitos da expansão decimal do número e que formavam um número primo. A resolução deste inigma, possibilitava aceder à página http://www.7427466391.com/ (a solução do desafio). Nessa página era proposto mais um desafio e após a resolução deste último era solicitado o Currículo para ingressar na empresa...

POESIA MATEMÁTICA (Millôr Fernandes)

Um Quociente apaixonou-se
Um dia
Doidamente
Por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
E viu-a, do Ápice à Base…
Uma Figura Ímpar;
Olhos rombóides, boca trapezóide,
Corpo ortogonal, seios esferóides.
Fez da sua
Uma vida
Paralela à dela.
Até que se encontraram
No Infinito.
“Quem és tu?” indagou ele
Com ânsia radical.
“Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode chamar-me Hipotenusa.”
E de falarem descobriram que eram
O que, em aritmética, corresponde
A alma irmãs
Primos-entre-si.
E assim se amaram
Ao quadrado da velocidade da luz.
Numa sexta potenciação
Traçando
Ao sabor do momento
E da paixão
Retas, curvas, círculos e linhas sinoidais.
Escandalizaram os ortodoxos
Das fórmulas euclideanas
E os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas
E pitagóricas.
E, enfim, resolveram casar-se.
Constituir um lar.
Mais que um lar.
Uma Perpendicular.
Convidaram para padrinhos
O Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e
Diagramas para o futuro
Sonhando com uma felicidadeIntegral
E diferencial.
E casaram-se e tiveram
Uma secante e três cones
Muito engraçadinhos.
E foram felizes
Até àquele dia
Em que tudo, afinal,
Se torna monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum…
Frequentador de Círculos Concêntricos.
Viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
Uma Grandeza Absoluta,
E reduziu-a a um Denominador Comum.
Ele, Quociente, percebeu
Que com ela não formava mais Um Todo.
Uma Unidade.
Era o Triângulo,
Chamado amoroso.
E desse problema ela era a fracção
Mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a
Relatividade.
E tudo que era expúrio passou a ser
Moralidade
Como aliás, em qualquer
Sociedade.

Fractais

A palavra fractal foi criada por Benoit Mandelbrot para se referir a objetos geométricos que não perdem sua estrutura em qualquer escala que sejam observados, ou seja, apresentam auto-semelhança.

A palavra fractal deriva do latim e significa quebrar. Mandelbrot classificou como fractais os objetos geométricos que não possuem dimensão inteira.

Os fractais freqüêntemente são compostos por versões progressivamente menores de uma forma geométrica simples. Observe abaixo, o Tapete de Sierpinski:

Vejamos agora outros fractais:

(1) Triângulo de Sierpinski

(2) Floco de Neve

(3) Esponja de Menger

Em Breve mais sobre os Fractais.

Até a próxima!!!

Regra de Pitágoras para calcular o quadrado de um número

Sabemos que para calcular o quadrado de um número basta multiplicar ele por si mesmo, ou seja, por exemplo: 4²=4x4=16.

No entanto Pitágoras conseguiu arranjar outra regra para calcular os "quadrados", baseando-se na soma de números ímpares.

Exemplos:
o primeiro número ímpar é 1 então 1²=1
os primeiros dois números ímpares são 1 e 3, então 2²=1+3
os primeiros três números ímpares são 1, 3 e 5, então 3²=1+3+5
os primeiros quatro números ímpares são 1, 3, 5 e 7, então 4²=1+3+5+7 e assim sucessivamente
Se pretendêssemos calcular 9² teríamos que 9²=1+3+5+7+9+11+13+15+17=81 isto é, 9² é igual à soma dos primeiros 9 números ímpares.

... Interessante...

A disputa entre o UM e o ZERO

"Eu valho muito pouco, sou sincero, dizia o Um ao Zero. No entanto, quanto vales tu ? Na pratica és tão vazio e inconcluente quanto na matemática. Ao passo que eu, se me coloco à frente de cinco zeros bem iguais a ti, sabes acaso quanto fico ?
Cem mil, meu caro, nem um tico a menos nem um tico a mais. Questão de números. Aliás é aquilo que sucede com todo ditador que cresce em importância e valor quanto mais são os zeros a segui-lo "

(Trilussa, poeta italiano. Viveu no tempo de Mussolini)

Quem disse q a matemática não tem poesia??

O Número de Ouro

A descoberta de que até o som podia ser traduzido em relações numéricas simples deve ter trazido a Pitágoras muito entusiasmo alegria.Já a descoberta da existência de números irracionais, na mesma proporção, deve ter trazido não só uma tristeza imensa, mas por certo uma grande proporção. Os pitagóricos, de um momento para outro, viram a Matemática não corresponder as expectativas. A ciência mais racional mostrava seu lado rebelde, eram aqueles estranhos seres, que de uma forma ou de outra, dilaceravam os cálculos geométricos e provocavam uma quebra de harmonia na fabulosa relação entre a Natureza e a Matemática.
Mas a Natureza é pródiga, se não fossem os números irracionais, que na Geometria grega significavam um segmento incomensurável, e também não existiria uma proporção numérica que relaciona a Matemática com o crescimento animal e vegetal, com a distribuição de galhos numa árvore, com a distribuição das sementes num girassol, com a vida de uma forma geral.
Esta proporção é única e é expressa através da chamada proporção áurea.

Assista esse video interessante sobre o Número de Ouro:

http://youtube.com/watch?v=SUSyRUkFKHY

Então... Até a próxima!

Bem Vindos!!!

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