Construções com régua e compasso

Em geometria, uma construção com régua e compasso é o desenho geométrico de segmentos de reta ou ângulos usando apenas uma régua e um compasso idealizados ou seja:
A régua pode ser usada para construir um segmento tão longo quanto se queira que contenha dois pontos dados. Particularmente tal régua não é graduada, não podendo ser utilizada para medir;
O compasso pode ser usado para construir a circunferência de centro em um dado ponto A e que passa por um dado ponto B. Assim deve ter pernas tão compridas quanto precisamos.
As construções com régua e compasso são baseadas nos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides por isso são também conhecidas por “construções euclidianas”, apesar dos termos “régua” e “compasso” não aparecerem nessa obra.

Três problemas clássicos

Os problemas a seguir desafiaram os geômetras gregos e com o passar dos anos envolveram gerações de matemáticos.

QUADRATURA DO CÍRCULO

A quadratura do círculo é um problema proposto pelos antigos geômetras gregos consistindo em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo servindo-se somente de uma régua e um compasso em um número finito de etapas. Em 1882, Ferdinand Lindemann provou que π é um número transcendente, isto é, não existe um polinômio com coeficientes inteiros ou racionais não todos nulos dos quais π seja uma raiz. Como resultado disso, é impossível exprimir π com um número finito de números inteiros, de frações racionais ou suas raízes.
A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com uma régua e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de um determinado círculo.

DUPLICAÇÃO DO CUBO





A duplicação do cubo é o problema de geometria que consiste em obter um método para, dada a aresta de um cubo, construir, com régua e compasso, a aresta do cubo cujo volume é o dobro do cubo inicial.





Solução Analítica: Seja a aresta do cubo a ser duplicado e seja (a,0,0) o centro de três círculos mutuamente ortogonais de raio a e cada um situado num plano perpendicular a um eixo coordenado. Sobre o círculo perpendicular ao eixo Ox construa-se um cone circular com vértice em (0,0,0); sobre o círculo no plano xy construa-se um cilindro circular reto; seja o círculo no plano xy girado em torno do eixo Oz para gerar um toro. As equações dessas superfícies são respectivamente:

• x²=y²+z²
  
• 2ax=x²+y²
  
• (x²+y²+z²)²=4a²(x²+y²)
  

Essas três superfícies se encontram num ponto cuja coordenada x é a.2^{1/3}, que é a aresta do cubo procurado.


TRISSECÇÃO DO ÂNGULO

Trissecção do ângulo é um dos problemas clássicos da geometria sobre construções com régua e compasso e consiste em, dado um ângulo qualquer, construir um outro com um terço de sua amplitude.

O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois dos seus vértices é de 120º, resulta daqui que o ângulo de 120º não pode ser trissectado somente com régua e compasso. No entanto Gauss nunca publicou uma demonstração do seu enunciado.