Lovers of Math: O Número Pi

O número Pi representa a quociente entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro p e diâmetro d, então aquele número é igual a p/d. É representado pela letra grega π. O Pi Tem o valor aproximado de 3,1415...

Matemáticos de várias eras tentaram buscar uma racionalidade de π, ou seja, tentar descrevê-lo como uma razão π = p/q, onde p e q são números inteiros. Esses estudos culminaram em se aceitar que π é irracional, ou seja, não pode ser precisamente representado por uma equação π = p/q. A irracionalidade de π foi demonstrada em 1761 por Johann Heinrich Lambert.

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esma forma estudos matemáticos provaram que π não pode ser obtido diretamente através de nenhuma função polinomial de coeficientes inteiros ou racionais do qual π seja uma raiz, significando que π é um número transcendente. Para o cálculo de π são necessárias aproximações através de séries infinitas de somas.

A transcendência de π estabelece a impossibilidade de se resolver o problema da quadratura do círculo: é impossível construir, somente com uma régua e um compasso, um quadrado cuja área seja rigorosamente igual à área de uma determinada circunferência.

Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideremos que π é um numero irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.

Método do cálculo de π por Arquimedes

Um dos mais conhecidos matemáticos da Antigüidade, Arquimedes, que viveu por volta do século III a.C. na Grécia, também quis descobrir a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro. Partiu de um hexágono regular e calculou os perímetros dos polígonos obtidos dobrando sucessivamente o número de lados até chegar a um polígono de 96 lados. Com esse perímetro calculado, ele definiu que o valor de π estaria entre 3,1408 e 3,1428.

Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.

Um fato interessante é que a aproximação do Pi pode ser feita a partir de polígonos inscritos ou circunscritos. Daí temos a seguite relação:

Observe esta tabela com dados sobre o polígono regular dado:

Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

Curiosidades sobre o Pi

(1) Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:

"Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cincocôvados de altura e trinta de circunferência."

sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.

(2) Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.

(3) O símbolo usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.

(4) O valor de correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.

(5) Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento Pi através de régua e compasso.

(6) O número exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.

(7) Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de com mais de cem mil dígitos decimais.