Escher e a Tira de Möbius

As obras do artista holandês Maurits C. Escher (1898-1972) são fascinantes por sua beleza, singularidade, precisão técnica e também pelo seu conhecimento matemático que expressão. Muitas delas guardam dentro de si intrigantes desafios, que nos levam a observá-las repetidas vezes, até descobrirmos efeitos visuais supreendentes.

Além de ser um grande artista e dominar como poucos as diversas técnicas de gravuras, Escher sempre teve um interesse muito grande por Geometria, tanto a clássica quanto as não-euclidianas, estruturando-as sistematicamente e introduzindo em sua arte novas abordagens de conceitos espaciais.

Só a partir dessa união entre a Arte, sensibilidade e conhecimentos matemático, é possível compreender a exuberância de suas obras, com seus mosaicos, simetrias, efeitos de perspectivas e relações espaciais incomuns. Observe o jogo de perspectivas em Queda-d'água (Waterfall) e Subindo e descendo (Ascending and descending), a simetria dos mosaicos em Céu e água I (Sky and water I) e o reflexo na superfície da esfera em Mão com esfera refletora (Hand with reflecting sphere).

Em 1963, Escher produziu uma interessante gravura, denominada Tira de Möbius II (Möbius Strip II), na qual formigas caminham sobre um anel, percorrendo sua superfície, ora por dentro, ora por fora.

Esse curioso anel foi proposto pelo alemão Ferdinand Möbius, no século XIX. O anel, ou "tira de Möbius", pode ser entendido como um objeto que, curiosamente, não tem "dentro" nem "fora".

Para compreende-lo melhor, você poderá construí-lo, precisando, para isso, apenas de uma folha de papel sulfite, uma tesoura, um tubo de cola e um lápis colorido. Acompanhe os passos a seguir:

Para se convencer de que a tira de Möbius tem apenas uma face, escolha um ponto qualquer de sua superfície, e utilizando o lápis colorido, trace uma linha num sentindo qualquer, até retornar ao ponto inicial.

Fazendo isso, você perceberá que percorreu toda a extensão da tira, num trajeto que tem o dobro de seu comprimento, como se você tivesse traçando uma linha na frente e no verso da tira original que você recortou da folha de sufite. Na gravura de Escher, as formigas percorrem esse mesmo caminho duplo.

Em função da característica de se poder utilizar a frente e o verso num mesmo movimento, a tira de Möbius tem inúmeras aplicações em dispositivos de transmissão, como correias utilizadas entre polias que tracionam escadas rolantes e como esteiras de transporte de cargas leves em centrais de distribuição. Nos dois casos, obtém-se uma durabilidade maior das correias e esteiras, pois os dois lados são utilizados, ao contrário do que ocorreria numa correia ou esteira cilíndrica comum em que apenas o lado de dentro sofre atrito com polias e engrenagens.