Problemas em aberto

E, para os que dizem que a matemática já está acabada, e que não há nada de novo para se descobrir, aqui coloco alguns problemas que ainda não possuem solução. Por favor quem conseguir resolver algum comunique imediatamente as autoridades! =P

1) Dois primos são ditos primos gêmeos se a diferença entre eles é 2.
Por exemplo: 7 e 5; 13 e 11; 19 e 17
"O número de pares de primos gêmeos é finito ou infinito???"

2) Conjectura de Goldbach
Escreva os inteiros abaixo como a soma de dois primos ímpares:

6=3+3

8=5+3

10=7+3

12=5+7

14=7+7

16=11+5

18=11+7

"Todo par maior do que quatro pode ser escrito como soma de dois primos ímpares???"

3) Determine a soma dos divisores positivos dos inteiros:

a) 6=1+2+3+6=12=2.12

b)496=1+2+4+8+16+31+62+124+248+496=992=2.496

Definição: Dizemos que um número n é perfeito se a soma de seus divisores positivos é 2n.

"Mostre que se ((2^n) -1) é um número primo, então (2^n-1).((2^n)-1) é um número perfeito. Existem então números perfeitos que são ímpares???"